Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomunun x3−1x^3 - 1 ile bölümünden kalan −3x2+2x−1-3x^2 + 2x - 1'dir. P(x2)P(x^2) polinomunun x2−x+1x^2 - x + 1 ile bölümünden kalan K(x)K(x) olduğuna göre, K(6)K(6) değeri kaçtır?

Cevap: 27

Cevap

K(6) değeri 27'dir.
P(x) polinomunun x^3 - 1 ile bölümünden kalan ifadesi kullanılarak, P(x^2) polinomunun x^2 - x + 1 ile bölümünden kalan K(x) = 5x - 3 olarak bulunur. Buradan K(6) değeri 27 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) polinomunun bölme özdeşliğini yazma
P(x) = Q(x)(x^3 - 1) - 3x^2 + 2x - 1
Verilen bölme işleminden polinomun genel ifadesini oluşturmak için.
2
x^2 - x + 1 = 0 denkleminin kök özelliklerini belirleme
w^2 = w - 1, w^3 = -1 ve w^6 = 1
Bölenden kalan bulurken karmaşık kök özelliklerini kullanmak için.
3
P(x^2) polinomunun kalan ilişkisini kurma
K(w) = P(w^2) = P(w - 1)
Bölümün kalanını w cinsinden ifade etmek için.
4
P(w - 1) değerini hesaplamak için P(x) ifadesinde yerine koyma
P(w - 1) = Q(w - 1)((w - 1)^3 - 1) - 3(w - 1)^2 + 2(w - 1) - 1
w - 1 değerini polinomda yerine yazarak sadeleştirme yapmak için.
5
(w - 1)^3 terimini sadeleştirme
(w - 1)^3 - 1 = 0
w - 1 = w^2 olduğundan (w^2)^3 - 1 = w^6 - 1 = 1 - 1 = 0 olur.
6
Geriye kalan terimleri w cinsinden sadele��tirme
K(w) = 5w - 3
(w-1)^2 = -w ve 2(w-1) = 2w - 2 dönüşümlerini kullanarak ifadeyi doğrusal hale getirmek için.
7
K(x) polinomunu bulup K(6) değerini hesaplama
K(x) = 5x - 3 ve K(6) = 27
Kalan polinomunda x yerine 6 yazarak sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Polinomlarda bölme, kalan bulma, karmaşık kökler yardımıyla derece indirgeme ve polinom bileşkeleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bu konudan daha fazla soru