Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma
Dördüncü dereceden gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomunun her xx gerçel sayısı için
P(x)≥2x+1P(x) \geq 2x + 1
eşitsizliğini sağladığı biliniyor.

P(1)=3P(1) = 3, P(2)=5P(2) = 5 ve P(3)=11P(3) = 11 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−4x+3x^2 - 4x + 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2x+12x + 1
  2. B
    4x+14x + 1
  3. C
    x2−2x+4x^2 - 2x + 4
  4. 4x−14x - 1Cevap
  5. E
    3x+23x + 2

Cevap

4x−14x - 1
Polinomun x2−4x+3x^2 - 4x + 3 ile bölümünden kalan, katsayıları m=4m = 4 ve n=−1n = -1 olan birinci dereceden bir polinomdur ve bu değerler denklem sisteminin doğru çözülmesiyle elde edilen doğrusal terime karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikten yeni bir yardımcı fonksiyon tanımlama
Q(x)=P(x)−(2x+1)Q(x) = P(x) - (2x + 1) tanımlanırsa, her xx gerçel sayısı için Q(x)≥0Q(x) \geq 0 olur.
Eşitsizlik sınır durumlarını ve polinomun katlı köklerini belirlemek için ifadeyi sıfıra eşit veya büyük bir forma getirmeliyiz.
2
Köklerin yerlerini ve özelliklerini belirleme
Q(1)=P(1)−3=0Q(1) = P(1) - 3 = 0 ve Q(2)=P(2)−5=0Q(2) = P(2) - 5 = 0 bulunur. Her xx için Q(x)≥0Q(x) \geq 0 olduğundan, bu kökler çift katlı kök olmalıdır.
Eğer kökler tek katlı olsaydı, fonksiyon kök noktasında işaret değiştirerek negatif değerler alırdı. Bu durum Q(x)≥0Q(x) \geq 0 şartıyla çelişirdi.
3
Polinomun genel denklemini yazma
Q(x)=a(x−1)2(x−2)2Q(x) = a(x-1)^2(x-2)^2 şeklindedir (a>0a > 0). Buradan P(x)=a(x−1)2(x−2)2+2x+1P(x) = a(x-1)^2(x-2)^2 + 2x + 1 elde edilir.
P(x)P(x) dördüncü dereceden bir polinom olduğundan, Q(x)Q(x) de dördüncü derecedendir ve çift katlı kökleri (x−1)2(x-1)^2 ile (x−2)2(x-2)^2 çarpanlarını içerir.
4
Bilinmeyen katsayıyı bulma
P(3)=a(3−1)2(3−2)2+2(3)+1=11⇒4a+7=11⇒a=1P(3) = a(3-1)^2(3-2)^2 + 2(3) + 1 = 11 \Rightarrow 4a + 7 = 11 \Rightarrow a = 1 bulunur. Buradan P(x)=(x−1)2(x−2)2+2x+1P(x) = (x-1)^2(x-2)^2 + 2x + 1 olur.
Verilen P(3)=11P(3) = 11 değerini kullanarak başkatsayı olan aa'yı belirleriz.
5
Bölme işleminde kalan polinomunun denklemini kurma
P(x)P(x) polinomunun x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) ile bölümünden kalan K(x)=mx+nK(x) = mx + n olsun. P(x)=(x−1)(x−3)B(x)+mx+nP(x) = (x-1)(x-3)B(x) + mx + n yazılır.
İkinci dereceden bir bölene ait kalan polinomunun derecesi en fazla 1 olabilir.
6
Katsayıları çözme
x=1⇒P(1)=m+n=3x = 1 \Rightarrow P(1) = m + n = 3
x=3⇒P(3)=3m+n=11x = 3 \Rightarrow P(3) = 3m + n = 11
Bu iki denklem taraf tarafa çıkarılırsa 2m=8⇒m=42m = 8 \Rightarrow m = 4 ve n=−1n = -1 bulunur.
Elde edilen katsayılar yerine yazılarak kalan polinomu K(x)=4x−1K(x) = 4x - 1 şeklinde belirlenir.

Anahtar Kavram

Bir polinomun alt sınır eşitsizliği yardımıyla teğetlik (çift katlı kök) mantığıyla denkleminin yazılması ve kalan teoreminde derece sınırlarına göre kalanın belirlenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bu konudan daha fazla soru