Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Bir KK kümesi
K={x,{x},{x,y},∅}K = \{ x, \{x\}, \{x, y\}, \emptyset \}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,
I. {x}∈K\{x\} \in K ve {x}⊂K\{x\} \subset K
II. {x,y}⊂K\{x, y\} \subset K
III. {∅}⊂K\{\emptyset\} \subset K ve ∅∈K\emptyset \in K

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III ifadelerini içeren seçenek
Birinci ifadede verilen {x} ifadesi K kümesinin liste yöntemindeki gösteriminde doğrudan bir eleman olarak yer aldığından {x} ∈ K doğrudur. Ayrıca x elemanı K kümesinin bir elemanı olduğu için bu elemandan oluşan {x} kümesi K kümesinin bir alt kümesidir, yani {x} ⊂ K ifadesi de doğrudur. Üçüncü ifadede boş küme sembolü K kümesinin bir elemanı olarak listede yer aldığından ∅ ∈ K doğrudur. Bu elemanı içeren {∅} kümesi de K'nin bir alt kümesi olacağından {∅} ⊂ K ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla I ve III ifadelerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını belirleyin.
K kümesinin elemanları sırasıyla x, {x}, {x, y} ve boş küme (∅) olmak üzere 4 elemanlıdır.
Kümelerdeki elemanları tek tek belirlemek, eleman (∈) ve alt küme (⊂) ilişkilerini doğru analiz etmek için ilk adımdır.
2
Birinci ifadeyi ( {x} ∈ K ve {x} ⊂ K ) inceleyin.
{x} ifadesi K kümesinin elemanlarından biri olduğu için {x} ∈ K doğrudur. Ayrıca x elemanı K kümesinin bir elemanı olduğu için {x} kümesi K kümesinin bir alt kümesidir, yani {x} ⊂ K ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla birinci ifade tamamen doğrudur.
Bir kümenin bir elemanını süslü parantez içine aldığımızda elde edilen tek elemanlı küme, o kümenin bir alt kümesi olur.
3
İkinci ifadeyi ( {x, y} ⊂ K ) inceleyin.
{x, y} kümesinin K kümesinin bir alt kümesi olabilmesi için hem x hem de y elemanlarının K kümesinin birer elemanı olması gerekir. x ∈ K iken y ∉ K'dir (y elemanı tek başına değil, sadece {x, y} elemanının içinde yer almaktadır). Bu yüzden {x, y} ⊂ K ifadesi yanlıştır.
Bir kümenin alt küme olabilmesi için o alt kümedeki tüm elemanların ana kümede de bağımsız birer eleman olarak bulunması gerekir.
4
Üçüncü ifadeyi ( {∅} ⊂ K ve ∅ ∈ K ) inceleyin.
∅ sembolü K kümesinin eleman listesinde doğrudan yer aldığı için ∅ ∈ K doğrudur. ∅ elemanını barındıran {∅} kümesi de K'nin bir alt kümesi olacağından {∅} ⊂ K doğrudur. Dolayısıyla üçüncü ifade tamamen doğrudur.
Bir kümenin elemanı olan boş küme sembolü ile boş kümeyi eleman kabul eden alt küme arasındaki ilişkiyi doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin Kullanımı ve Farkları
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru