Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir grup arkadaş, ortaklaşa kiraladıkları bir yazlığın toplam giderlerini eşit olarak paylaşacaktır. Bu paylaşım süreciyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Gruptan 33 kişi hiçbir ödeme yapamayacağını belirttiğinde, diğer kişilerin her birinin payına düşen ücret ilk duruma göre 150150 TL artmaktadır.
* Daha sonra, ödeme yapacak olan kişilerden 22 kişi daha kendi paylarına düşen ücretin yalnızca yarısını ödeyebilmiştir.
* Son durumda kalan ücret, kalan grup üyeleri tarafından eşit olarak paylaşılmış ve bu kişilerin her biri ilk duruma göre toplam 250250 TL fazla ödemiştir.

Buna göre, bu gruptaki toplam arkadaş sayısı kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

Gruptaki toplam arkadaş sayısı 10'dur.
Gruptaki kişi sayısı ve toplam masraf belirlenip adımlar takip edildiğinde, birinci durumdaki artıştan toplam masraf ile kişi sayısı arasındaki bağıntı elde edilir. İkinci durumdaki toplam artış denkleminde bu bağıntı yerine yazılarak sadeleştirme yapıldığında gruptaki arkadaş sayısı 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gruptaki kişi sayısına NN ve yazlığın toplam masrafına XX diyelim. Başlangıçta kişi başına düşen payı belirleyelim.
Başlangıçta kişi başı düşen pay XN\frac{X}{N} TL olur.
Toplam masraf gruptaki kişi sayısına eşit olarak bölüştürülür.
2
3 kişi ödeme yapmadığında kalan N−3N-3 kişinin yeni payını bulalım ve 150 TL'lik artış denklemini kuralım.
Yeni pay XN−3\frac{X}{N-3} TL olur. Denklem: XN−3−XN=150  ⟹  3XN(N−3)=150  ⟹  X=50N(N−3)\frac{X}{N-3} - \frac{X}{N} = 150 \implies \frac{3X}{N(N-3)} = 150 \implies X = 50N(N-3)
3 kişinin eksilmesiyle kişi başına düşen miktarın artışını masraf cinsinden ifade etmek için.
3
Ödeme yapacak N−3N-3 kişiden 2'si yarım ödediğinde eksik kalan tutarın, diğer kalan N−5N-5 kişiye yansımasını hesaplayalım.
Yarım ödeyen 2 kişinin eksik bıraktığı toplam tutar: 2×X2(N−3)=XN−32 \times \frac{X}{2(N-3)} = \frac{X}{N-3} TL. Bu eksik tutar kalan N−5N-5 kişiye paylaştırıldığında kişi başı eklenen ücret X(N−3)(N−5)\frac{X}{(N-3)(N-5)} TL olur. Son durumda ödenen ücret ise X(N−4)(N−3)(N−5)\frac{X(N-4)}{(N-3)(N-5)} TL olarak bulunur.
Eksik ödemelerin kalan grup üyelerine eşit olarak yansıtılması gerekir.
4
Son payın başlangıç payından 250 TL fazla olduğunu belirten denklemi kurup çözelim.
X(N−4)(N−3)(N−5)−XN=250\frac{X(N-4)}{(N-3)(N-5)} - \frac{X}{N} = 250 denkleminde X=50N(N−3)X = 50N(N-3) yazılırsa: 50⋅(N(N−4)N−5−(N−3))=250  ⟹  4N−15N−5=5  ⟹  4N−15=5N−25  ⟹  N=1050 \cdot \left(\frac{N(N-4)}{N-5} - (N-3)\right) = 250 \implies \frac{4N-15}{N-5} = 5 \implies 4N-15 = 5N-25 \implies N = 10 elde edilir.
Toplam kişi sayısı olan NN değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve rasyonel ifadelerle işlem yapma
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru