Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Bir sayı doğrusu üzerinde işaretlenen aa ve bb tam sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* aa sayısının 33 noktasına olan uzaklığı ile bb sayısının −2-2 noktasına olan uzaklığının toplamı 55 birimdir.
* aa sayısının bb sayısına oranı bir tam sayıdır.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    23
  3. 27Cevap
  4. D
    30
  5. E
    33

Cevap

27
Doğru cevap olan 27 değeri, mutlak değerli denklemin tam sayılardaki tüm çözümleri çıkarıldıktan sonra oranlama kısıtlamasını sağlayan a∈{−2,−1,0,1,2,3,4,5,7,8}a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\} kümesinin elemanlarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık tanımını kullanarak verilen ifadeyi mutlak değerli bir denkleme dönüştürün.
∣a−3∣+∣b−(−2)∣=5⇒∣a−3∣+∣b+2∣=5|a - 3| + |b - (-2)| = 5 \Rightarrow |a - 3| + |b + 2| = 5 denklemi elde edilir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
2
aa ve bb tam sayı olduğundan, mutlak değerli ifadelerin alabileceği negatif olmayan tam sayı değerlerini belirleyin.
(∣a−3∣,∣b+2∣)(|a-3|, |b+2|) ikilisinin alabileceği değerler: (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0) olmalıdır.
İki mutlak değerli ifadenin toplamı 5 ise ve içleri tam sayıysa, bu mutlak değerlerin sonuçları da negatif olmayan tam sayılar olmak zorundadır.
3
Her bir durum için aa ve bb tam sayılarını hesaplayıp ab\frac{a}{b} oranının bir tam sayı olma durumunu inceleyin.
Durum analizi:
* ∣a−3∣=0,∣b+2∣=5⇒a=3|a-3|=0, |b+2|=5 \Rightarrow a=3 ve b∈{3,−7}b \in \{3, -7\}. b=3b=3 için a/b=1a/b=1 tam sayıdır (uygun).
* ∣a−3∣=1,∣b+2∣=4⇒a∈{2,4}|a-3|=1, |b+2|=4 \Rightarrow a \in \{2, 4\}, b∈{2,−6}b \in \{2, -6\}. b=2b=2 için a/ba/b oranları tam sayıdır ⇒a=2\Rightarrow a=2 ve a=4a=4 (uygun).
* ∣a−3∣=2,∣b+2∣=3⇒a∈{1,5}|a-3|=2, |b+2|=3 \Rightarrow a \in \{1, 5\}, b∈{1,−5}b \in \{1, -5\}. b=1b=1 için oranlar tam sayıdır ⇒a=1,5\Rightarrow a=1, 5 (uygun). b=−5b=-5 için a=5⇒a/b=−1a=5 \Rightarrow a/b=-1 tam sayıdır.
* ∣a−3∣=3,∣b+2∣=2⇒a∈{0,6}|a-3|=3, |b+2|=2 \Rightarrow a \in \{0, 6\}, b∈{0,−4}b \in \{0, -4\}. b=0b=0 için oran tanımsızdır. b=−4b=-4 için a=0⇒a/b=0a=0 \Rightarrow a/b=0 tam sayıdır ⇒a=0\Rightarrow a=0 (uygun). (a=6a=6 için 6/−46/-4 tam sayı değildir, elenir).
* ∣a−3∣=4,∣b+2∣=1⇒a∈{−1,7}|a-3|=4, |b+2|=1 \Rightarrow a \in \{-1, 7\}, b∈{−1,−3}b \in \{-1, -3\}. b=−1b=-1 için oranlar tam sayıdır ⇒a=−1\Rightarrow a=-1 ve a=7a=7 (uygun).
* ∣a−3∣=5,∣b+2∣=0⇒a∈{−2,8}|a-3|=5, |b+2|=0 \Rightarrow a \in \{-2, 8\}, b=−2b=-2. b=−2b=-2 için a/ba/b oranları tam sayıdır ⇒a=−2\Rightarrow a=-2 ve a=8a=8 (uygun).
Tanımsızlık oluşturan paydanın sıfır olması durumu ve oranın tam sayı çıkmadığı durumlar elenmelidir.
4
Koşulları sağlayan benzersiz aa değerlerini toplayın.
a∈{−2,−1,0,1,2,3,4,5,7,8}a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\} değerlerinin toplamı: (−2)+(−1)+0+1+2+3+4+5+7+8=27(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27 bulunur.
Bulunan tüm geçerli aa değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık kavramıyla ilişkilendirilerek tam sayı kısıtlamaları altında çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru