Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim

Bir teknoloji firmasının ürettiği hassas sıcaklık kontrol cihazında üç farklı güvenlik modülü bulunmaktadır. Bu modüllerin aktif olarak çalışabildiği sıcaklık aralıkları (∘C^{\circ}\text{C} cinsinden) sayı doğrusu üzerindeki noktalar olarak şu şekilde tanımlanmıştır:

* 1. Modülün çalışma aralığı (AA): Sayı doğrusunda 33 noktasına olan uzaklığı en fazla 55 birim olan gerçel sayıların kümesidir.
* 2. Modülün çalışma aralığı (BB): Sayı doğrusunda −1-1 noktasına olan uzaklığı en az 22 birim ve en fazla 77 birim olan gerçel sayıların kümesidir.
* 3. Modülün çalışma aralığı (CC): Say�� doğrusunda başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığı 44 birimden az olan gerçel sayıların kümesidir.

Cihazın güvenli bir şekilde çalışabilmesi için 1. ve 2. modüllerin her ikisinin de aktif olması, ancak 3. modünaktif olmaması gerekmektedir.

Buna göre, cihazın güvenli bir şekilde çalışabildiği sıcaklık değerlerini ifade eden aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

Cihazın güvenli çalışabildiği sıcaklık değerlerini gösteren aralıktaki tam sayıların toplamı 15'tir.
Cihazın güvenli çalışabildiği aralık [4,6][4, 6] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayı değerleri 4, 5 ve 6 olduğundan toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
1. Modülün çalışma aralığı olan AA kümesini bulmak için verilen mutlak değerli eşitsizliği çözmek.
∣x−3∣≤5  ⟹  −2≤x≤8|x - 3| \le 5 \implies -2 \le x \le 8, yani A=[−2,8]A = [-2, 8] kapalı aralığıdır.
Bir noktaya olan uzakl��ğın en fazla olması durumu kapalı aralık belirtir.
2
2. Modülün çalışma aralığı olan BB kümesini bulmak için çift yönl�� mutlak değerli eşitsizliği çözmek.
2≤∣x+1∣≤7  ⟹  1≤x≤62 \le |x + 1| \le 7 \implies 1 \le x \le 6 veya −8≤x≤−3-8 \le x \le -3, yani B=[−8,−3]∪[1,6]B = [-8, -3] \cup [1, 6] birleşim kümesidir.
Uzaklığın −1-1 noktasına göre en az 2 ve en fazla 7 birim olması ∣x−(−1)∣=∣x+1∣|x - (-1)| = |x + 1| şeklinde ifade edilir.
3
3. Modülün çalışma aralığı olan CC kümesini bulmak için orijine uzaklık ifadesini açık aralık olarak yazmak.
∣x∣<4  ⟹  C=(−4,4)|x| < 4 \implies C = (-4, 4) açık aralığıdır.
Orijine olan uzaklığın 4 birimden az olması durumu açık aralık olarak tanımlanır.
4
1. ve 2. modüllerin kesişim kümesini bulmak.
A∩B=[−2,8]∩([−8,−3]∪[1,6])=[1,6]A \cap B = [-2, 8] \cap ([-8, -3] \cup [1, 6]) = [1, 6] aralığıdır.
Ortak elemanlar sadece pozitif taraftaki [1,6][1, 6] aralığında yer alır; [−2,8][-2, 8] ile [−8,−3][-8, -3] kesişimi boştur.
5
Bulunan kesişim kümesinden 3. modülün aktif olduğu CC aralığını çıkarmak.
E=(A∩B)∖C=[1,6]∖(−4,4)=[4,6]E = (A \cap B) \setminus C = [1, 6] \setminus (-4, 4) = [4, 6] kapalı aralığıdır.
Güvenli çalışma için 3. modülün aktif olmaması, yani sıcaklığın C=(−4,4)C = (-4, 4) kümesinde yer almaması gerekir.
6
Güvenli aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplamak.
4+5+6=154 + 5 + 6 = 15 elde edilir.
[4,6][4, 6] kapalı aralığındaki tam sayılar 44, 55 ve 66 olup uç noktalar aralığa dahildir.

Anahtar Kavram

Aralık kavramı, sayı doğrusunda gösterim, aralıkların kesişimi ve farkı işlemleri ile mutlak değerli eşitsizliklerin aralık belirtmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Aralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim

Bu konudan daha fazla soru