Bir oyun parkında jetonlar iki farklı şekilde satılmaktadır: * Tek bir jetonun fiyatı 15\t… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir oyun parkında jetonlar iki farklı şekilde satılmaktadır:

* Tek bir jetonun fiyatı $15\text{ TL}$ 'dir.
* $7$ 'li jeton paketinin fiyatı $70\text{ TL}$ 'dir.

Bu oyun parkında toplam $410\text{ TL}$ harcayarak jeton satın alan bir kişinin elde ettiği toplam jeton sayısı en fazla kaçtır?

Elde edilen toplam jeton sayısı en fazla 39'dur.

Toplam 410 TL harcama ile 5 adet 7'li jeton paketi (

5 \times 70 = 350

TL) ve 4 adet tekil jeton (

4 \times 15 = 60

TL) alındığında toplam tutar tam olarak 410 TL olur. Bu durumda elde edilen toplam jeton sayısı

5 \times 7 + 4 = 39

olur ve bu ulaşılabilecek en büyük değerdir.

Satın alınan 7'li jeton paketi sayısını

x

, tekil jeton sayısını

y

olarak belirleyip harcanan toplam tutar için denklem kuralım.

70x + 15y = 410

denklemi elde edilir.

Jeton paketlerinin ve tekil jetonların birim fiyatları ile harcanan toplam para arasındaki ilişkiyi kurmak için.

Elde edilen denklemi sadeleştirelim. Her iki tarafı da 5 ile bölelim.

14x + 3y = 82

denklemi elde edilir.

Katsayıları küçülterek tam sayı çözümlerini daha kolay bulabilmek için.

Denklemin

x

y

doğal sayıları için çözümlerini araştıralım. Denklemi

3y = 82 - 14x

şeklinde düzenleyelim.

82 - 14x

ifadesinin 3'ün katı olmasını sağlayan

x

değerleri belirlenir.

x = 2

için

3y = 54 \implies y = 18

x = 5

için

3y = 12 \implies y = 4

bulunur. Diğer

x

değerleri için

y

tam sayı çıkmaz.

Alınan paket ve jeton sayılarının birer tam sayı olması gerektiği için uygun tüm

(x, y)

ikililerini bulmak amacıyla.

Bulunan çözümler için toplam jeton sayısı olan

T = 7x + y

değerlerini hesaplayalım ve en büyüğünü seçelim.

(x, y) = (2, 18)

için

7(2) + 18 = 32

jeton elde edilir.

(x, y) = (5, 4)

için

7(5) + 4 = 39

jeton elde edilir. En fazla jeton sayısı 39 olarak bulunur.

Bizden istenen en fazla toplam jeton sayısına ulaşmak için.

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin tam sayı çözümlerini bulma (Diofant denklemleri)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru