Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir kargo firması, gönderilen paketleri ağırlıklarına göre üç farklı sınıfa ayırmakta ve ücretlendirmektedir:

* Ağ��rlığı en az 11 kg, en fazla 22 kg olan paketler Hafif,
* Ağırlığı en az 33 kg, en fazla 55 kg olan paketler Orta,
* Ağırlığı en az 66 kg olan paketler Ağır olarak sınıflandırılmaktadır.

Gönderim ücretleri; Hafif paketler için paket başına sabit 2020 TL, Orta paketler için kg başına 1010 TL, Ağır paketler için ise kg başına 55 TL ve ek olarak paket başına sabit 1010 TL'dir.

Bu firmayla her birinin ağırlığı kilogram cinsinden birer tam sayı olan toplam 1818 adet paket gönderen bir müşteri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* M��şteri her üç sınıftan da en az birer paket göndermiştir.
* Gönderilen Hafif paketlerin toplam ağırlığı ile Ağır paketlerin toplam ağırlığı birbirine eşittir.
* Gönderilen tüm paketlerin toplam ağırlığı 5050 kg, ödenen toplam ücret ise 490490 TL'dir.
* Gönderilen Ağır paketlerin sayısı birden fazladır.
* Gönderilen Orta paketlerin tamamının ağırlıkları birbirine eşittir.

Buna göre, bu müşterinin gönderdiği Orta paketlerin sayısı kaçtır?

  1. 2Cevap
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Müşterinin gönderdiği Orta paketlerin sayısı 2'dir.
Doğru cevap olan 2 sayısı, tüm kısıtları eksiksiz karşılayan tek seçenektir. Bu durumda Hafif paket sayısı 1313, Orta paket sayısı 22 ve Ağır paket sayısı 33 olur. Toplam paket sayısı 13+2+3=1813 + 2 + 3 = 18'dir. Hafif paketlerin toplam ağırlığı 2020 kg iken Ağır paketlerin toplam ağırlığı da 2020 kg'dır. Orta paketlerin toplam ağırlığı ise 1010 kg olup, her bir Orta paketin ağırlığı 55 kg olarak eşit ve tam sayı değerindedir. Toplam ağırlık 5050 kg, toplam ücret ise 13×20+10×10+(20×5+3×10)=260+100+130=49013 \times 20 + 10 \times 10 + (20 \times 5 + 3 \times 10) = 260 + 100 + 130 = 490 TL olarak doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hafif, Orta ve Ağır paketlerin sayılarını ve toplam ağırlıklarını değişkenlerle ifade edip denklem sistemini kurma.
Hafif paket sayısı xx, Orta paket sayısı yy, Ağır paket sayısı zz olsun. Toplam paket sayısı: x+y+z=18x + y + z = 18 olur. Hafif, Orta ve Ağır paketlerin toplam ağırlıkları sırasıyla WLW_L, WMW_M, WHW_H olsun. Toplam ağırlık: WL+WM+WH=50W_L + W_M + W_H = 50 kg'dır. WL=WHW_L = W_H olduğundan 2WL+WM=50  ⟹  WM=50−2WL2W_L + W_M = 50 \implies W_M = 50 - 2W_L elde edilir.
Soruda verilen sayısal ilişkileri cebirsel ifadelere dökmek için.
2
Ücret kısıtını yazarak denklem sistemini sadeleştirme.
Toplam ücret: 20x+10WM+5WH+10z=49020x + 10W_M + 5W_H + 10z = 490 TL'dir. WH=WLW_H = W_L ve WM=50−2WLW_M = 50 - 2W_L eşitlikleri bu denklemde yerine yazılırsa: 20x+10(50−2WL)+5WL+10z=490  ⟹  20x+500−20WL+5WL+10z=490  ⟹  15WL−20x−10z=1020x + 10(50 - 2W_L) + 5W_L + 10z = 490 \implies 20x + 500 - 20W_L + 5W_L + 10z = 490 \implies 15W_L - 20x - 10z = 10 elde edilir. Her iki taraf 5'e bölündüğünde 3WL−4x−2z=23W_L - 4x - 2z = 2 denklemi bulunur.
Değişken sayısını azaltıp çözülebilir bir Diophantus (tam sayı) denklemi elde etmek için.
3
Paket ağırlık sınırlarını kullanarak değişkenler arasındaki eşitsizlik ilişkilerini belirleme.
Hafif paketlerin her biri 11 ile 22 kg arasında olduğundan x≤WL≤2xx \leq W_L \leq 2x olmalıdır. Buradan 3WL−4x=2z+23W_L - 4x = 2z + 2 ifadesinde WL≤2xW_L \leq 2x yazılırsa: 3(2x)−4x≥2z+2  ⟹  2x≥2z+2  ⟹  x≥z+13(2x) - 4x \geq 2z + 2 \implies 2x \geq 2z + 2 \implies x \geq z + 1 bulunur. Ayrıca her bir Ağır paket en az 66 kg olduğundan WH=WL≥6zW_H = W_L \geq 6z olmalıdır. Buradan 3WL−4x=2z+2  ⟹  3(6z)−4x≤2z+2  ⟹  16z−2≤4x  ⟹  x≥4z3W_L - 4x = 2z + 2 \implies 3(6z) - 4x \leq 2z + 2 \implies 16z - 2 \leq 4x \implies x \geq 4z (tam sayı olduğundan) elde edilir. z>1z > 1 koşuluyla birlikte x≥4zx \geq 4z eşitsizliği, x+y+z=18x + y + z = 18 denkleminde yerine konursa, z≥4z \geq 4 için x≥16x \geq 16 olup x+z≥20>18x + z \geq 20 > 18 olacağından zz değeri yalnızca 2 veya 3 olabilir.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını sınırlandırarak olası durumları azaltmak için.
4
z=2z = 2 ve z=3z = 3 durumlarını tek tek inceleyerek Orta paketlerin ağırlıklarının eşit ve tam sayı olması koşulunu sağlayan tek çözümü tespit etme.
z=2z = 2 için: x≥8x \geq 8 ve x+y=16x + y = 16 olur. 3WL=4x+6  ⟹  x3W_L = 4x + 6 \implies x değeri 3'ün katı olmalıdır. Olası xx değerleri: 9 ve 12'dir. x=9  ⟹  WL=14,y=7,WM=22x = 9 \implies W_L = 14, y = 7, W_M = 22 (Orta paketlerin biri 22/722/7 kg olur, tam sayı değildir). x=12  ⟹  WL=18,y=4,WM=14x = 12 \implies W_L = 18, y = 4, W_M = 14 (Orta paketlerin biri 14/4=3.514/4 = 3.5 kg olur, tam sayı değildir). z=3z = 3 için: x≥12x \geq 12 ve x+y=15x + y = 15 olur. 3WL=4x+8=4(x+2)  ⟹  x+23W_L = 4x + 8 = 4(x+2) \implies x+2 değeri 3'ün katı olmalıdır. Olası tek değer x=13x = 13'tür. x=13  ⟹  WL=20,y=2,WM=10x = 13 \implies W_L = 20, y = 2, W_M = 10 olur. Bu durumda her bir Orta paketin ağırlığı 10/2=510/2 = 5 kg (tam sayı) olup koşullar sağlanır.
Kısıtları sağlayan tekil tam sayı çözümüne ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde Çok Değişkenli Denklem Kurma ve Eşitsizlik Sınır Analizi

Alternatif Yöntem

Orta paketlerin sayısının az olması istendiği için, toplam ağırlığı sabitleyip ağır paketlerin sayısını ve ağırlığını maksimize etmeye çalışarak da deneme-yanılma yoluyla çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru