Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir kahve dükkanında müşterilere sunulan iki farklı sadakat kartı kampanyasıyla ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* 1. Kart: Satın alınan her kahve için 33 puan kazandırır. Biriken her 1010 puan ile 11 bedava kahve alınabilir.
* 2. Kart: Satın alınan her kahve için 22 puan kazandırır. Biriken her 77 puan ile 11 bedava kahve alınabilir.

Her iki kampanyada da bedava alınan kahvelerden puan kazanılmamaktadır. Sadakat programına yeni başlayan Ayşe 1. Kart'ı, Barış ise 2. Kart'ı tercih etmiştir.

Belirli bir süre sonunda Ayşe ve Barış, kazandıkları tüm puanları bedava kahve almak için kullanmış ve kartlarında hiç puan kalmamıştır. Bu süre zarfında hem Ayşe hem de Barış'ın (satın aldıkları ve bedava aldıkları dahil) içtikleri toplam kahve sayıları eşit olmuştur.

Ayşe'nin parayla satın aldığı kahve sayısı, Barış'ın parayla satın aldığı kahve sayısından 44 eksik olduğuna göre; bu iki kişinin içtiği toplam kahve sayısı en az kaçtır?

  1. A
    234
  2. B
    468
  3. C
    702
  4. 936Cevap
  5. E
    1872

Cevap

936
Ayşe'nin puan dengesinden satın aldığı kahve sayısı 10k10k, bedava kahve sayısı 3k3k ve toplam kahve sayısı 13k13k olur. Barış'ın puan dengesinden satın aldığı kahve sayısı 7m7m, bedava kahve sayısı 2m2m ve toplam kahve sayısı 9m9m olur. Toplam kahve sayıları eşit olduğundan 13k=9m13k = 9m eşitliğinden k=9nk=9n ve m=13nm=13n yazılır. Ayşe'nin satın aldığı kahve sayısı 90n90n, Barış'ınki ise 91n91n olur. Aralarındaki fark 91n−90n=n=491n - 90n = n = 4 olduğundan, her birinin içtiği kahve sayısı 13×9×4=46813 \times 9 \times 4 = 468 olur. İki kişinin içtiği toplam kahve sayısı ise 468+468=936468 + 468 = 936 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ayşe'nin satın aldığı ve bedava aldığı kahve sayıları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Ayşe'nin parayla satın aldığı kahve sayısı ApA_p ve bedava aldığı kahve sayısı AbA_b olsun. Her satın alınan kahve 33 puan kazandırdığından toplam 3Ap3A_p puan kazanılır. Her bedava kahve 1010 puan değerindedir ve hiç puan artmadığı için 3Ap=10Ab3A_p = 10A_b eşitliği elde edilir. Burada obeb(3,10)=1\text{obeb}(3,10)=1 olduğundan Ap=10kA_p = 10k ve Ab=3kA_b = 3k (kk pozitif tam sayı) yazılabilir. Ayşe'nin içtiği toplam kahve sayısı TA=Ap+Ab=13kT_A = A_p + A_b = 13k olur.
Kazanılan puanların bedava kahve puan maliyetiyle tam olarak eşleşmesi için oran kurmak gerekir.
2
Barış'ın satın aldığı ve bedava aldığı kahve sayıları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Barış'ın parayla satın aldığı kahve sayısı BpB_p ve bedava aldığı kahve sayısı BbB_b olsun. Benzer şekilde, kazanılan 2Bp2B_p puan ile 7Bb7B_b harcanan puan eşitlenir: 2Bp=7Bb2B_p = 7B_b. Buradan Bp=7mB_p = 7m ve Bb=2mB_b = 2m (mm pozitif tam sayı) bulunur. Barış'ın içtiği toplam kahve sayıs�� TB=Bp+Bb=9mT_B = B_p + B_b = 9m olur.
İkinci kartın puan sistemine göre Barış'ın kahve sayıları arasındaki oranı bulmak gerekir.
3
Toplam kahve sayılarının eşitliğini kullanarak değişkenleri ilişkilendirmek.
İki kişinin içtiği toplam kahve sayıları eşit olduğundan TA=TB  ⟹  13k=9mT_A = T_B \implies 13k = 9m olur. 1313 ve 99 aralarında asal olduğundan, en küçük ortak katları üzerinden k=9nk = 9n ve m=13nm = 13n (nn pozitif tam sayı) yazılabilir.
Soruda verilen toplam kahve sayılarının eşitliği koşulunu denkleme dökmek gerekir.
4
Satın alınan kahve sayılarının farkını kullanarak nn değerini bulmak ve toplam kahve sayısını hesaplamak.
Ayşe'nin satın aldığı kahve sayısı Ap=10k=10⋅9n=90nA_p = 10k = 10 \cdot 9n = 90n olur.
Barış'ın satın aldığı kahve sayısı Bp=7m=7⋅13n=91nB_p = 7m = 7 \cdot 13n = 91n olur.
Parayla satın alınan kahve sayılarının farkı Bp−Ap=91n−90n=nB_p - A_p = 91n - 90n = n olarak bulunur.
Soruda bu fark 44 olarak verildiğinden n=4n = 4 elde edilir.
Bu durumda bir kişinin içtiği toplam kahve sayısı: 13k=13⋅9⋅4=46813k = 13 \cdot 9 \cdot 4 = 468 olur.
İki kişinin içtiği toplam kahve sayısı ise 468+468=936468 + 468 = 936 olarak bulunur.
Verilen sayısal fark yardımıyla bilinmeyen katsayıyı bulup sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Oran-orantı prensipleri kullanılarak kurulan doğrusal sayı denklemlerinin çözümü ve en küçük ortak kat (EKOK) ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru