Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir otoparktaki park yerleri soldan sağa doğru 1,3,5,…1, 3, 5, \dots şeklinde ardışık pozitif tek tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu otoparkta yan yana bulunan tüm park yerleri doludur.

Otoparka park eden bir aracın solunda kalan tüm park yerlerinin numaralarının toplamı, sağında kalan ilk 88 park yerinin numaralarının toplamına eşittir.

Buna göre, bu aracın park ettiği yerin numarası kaçtır?

Cevap: 41

Cevap

Aracın park ettiği yerin numarası 41'dir.
Araç soldan 21. sırada bulunduğunda, park numarası 41 olur. Bu durumda aracın solundaki 20 yerin numaraları toplamı 202=40020^2 = 400 olur. Sağındaki ilk 8 yerin numaraları 43,45,…,5743, 45, \dots, 57 olup toplamları 8×50=4008 \times 50 = 400 yapar. İki tarafın toplamı birbirine eşit olduğundan doğru yanıt 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Aracın park ettiği konumu tanımlayarak solundaki sayıların toplamını ifade etmek.
Araç soldan kk. sırada park etmiş olsun. Bu durumda aracın solunda kalan park yerlerinin sayısı k−1k-1 olur. Bu yerlerin numaraları toplamı ardışık tek sayıların toplamı formülüyle 1+3+5+⋯+(2k−3)=(k−1)21 + 3 + 5 + \dots + (2k-3) = (k-1)^2 olarak bulunur.
Sol taraftaki park yerlerinin numaraları toplamını veren genel cebirsel ifadeyi oluşturmak amacıyla.
2
Aracın sağındaki ilk 8 yerin numaraları toplamını belirlemek.
Aracın park ettiği yer 2k−12k-1 numaralı yerdir. Bu yerin sağındaki ilk 8 yerin numaralar�� sırasıyla 2k+1,2k+3,…,2k+152k+1, 2k+3, \dots, 2k+15 olacaktır. Bu 8 sayının toplamı: 8×2k+(1+3+5+⋯+15)=16k+648 \times 2k + (1 + 3 + 5 + \dots + 15) = 16k + 64 olur.
Sağ taraftaki park yerlerinin numaraları toplamını veren genel cebirsel ifadeyi oluşturmak amacıyla.
3
Elde edilen toplamları eşitleyerek denklemi çözmek ve park yerini bulmak.
(k−1)2=16k+64⇒k2−2k+1=16k+64⇒k2−18k−63=0⇒(k−21)(k+3)=0(k-1)^2 = 16k + 64 \Rightarrow k^2 - 2k + 1 = 16k + 64 \Rightarrow k^2 - 18k - 63 = 0 \Rightarrow (k-21)(k+3) = 0 elde edilir. kk bir pozitif tam sayı olması gerektiğinden k=21k = 21 bulunur. Aracın park ettiği yerin numarası 2k−1=2(21)−1=412k - 1 = 2(21) - 1 = 41 olur.
Kurulan denklemi çözerek aracın otoparktaki sırasını ve park yeri numarasını hesaplamak amacıyla.

Anahtar Kavram

Ardışık tek tam sayıların toplamı formülü
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru