Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri
Pozitif irrasyonel xx ve yy sayıları için,
x+y=4x + y = 4
x3+y3∈Zx^3 + y^3 \in \mathbb{Z}
x4+y4∈Zx^4 + y^4 \in \mathbb{Z}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı 3'tür.
x⋅y=px \cdot y = p ifadesinin alabileceği değerler, sayıların pozitiflik ve irrasyonellik koşullarını sağlayan p=1p=1 ve p=2p=2 tam sayılarıdır. Bu değerlerin toplamı 1+2=31+2=3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=4x + y = 4 ve x⋅y=px \cdot y = p değişken tanımlaması yapılarak gerçel köklerin varlık aralığını belirlemek.
0<p≤40 < p \le 4 aralığı elde edilir.
xx ve yy pozitif gerçel sayılar olduğundan çarpımları pozitif olmalıdır. Ayrıca köklerin gerçel sayı olması için diskriminant Δ=16−4p≥0\Delta = 16 - 4p \ge 0 olmalıdır.
2
x3+y3∈Zx^3 + y^3 \in \mathbb{Z} koşulunu pp değişkeni cinsinden ifade etmek.
64−12p∈Z  ⟹  12p=k∈Z64 - 12p \in \mathbb{Z} \implies 12p = k \in \mathbb{Z} (yani p=k/12p = k/12) elde edilir.
x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) özdeşliği kullanılarak ifadenin tam sayı olma şartı bulunur.
3
x4+y4∈Zx^4 + y^4 \in \mathbb{Z} koşulunu pp cinsinden yazarak p=k/12p = k/12 değerini yerine koymak.
256−64p+2p2∈Z  ⟹  k2−384k72∈Z256 - 64p + 2p^2 \in \mathbb{Z} \implies \frac{k^2 - 384k}{72} \in \mathbb{Z} elde edilir.
x4+y4=(x2+y2)2−2x2y2x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 özdeşliği kullanılarak ifadenin tam sayı olma koşulu analiz edilir.
4
k2−384k≡0(mod72)k^2 - 384k \equiv 0 \pmod{72} denkliğini mod 8 ve mod 9 için incelemek.
kk sayısının 12'nin katı olması gerektiği ve dolayısıyla pp değerinin bir tam sayı (p∈Zp \in \mathbb{Z}) olduğu bulunur.
Mod 8 için k2≡0(mod8)  ⟹  4∣kk^2 \equiv 0 \pmod 8 \implies 4 \mid k ve mod 9 için k(k−6)≡0(mod9)  ⟹  3∣kk(k-6) \equiv 0 \pmod 9 \implies 3 \mid k koşulları birleştirilerek 12∣k12 \mid k olduğu gösterilir.
5
0<p≤40 < p \le 4 aralığındaki tam sayı değerlerini irrasyonellik koşuluna göre test etmek.
p=1p = 1 ve p=2p = 2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1+2=31 + 2 = 3 olur.
xx ve yy sayılarının irrasyonel olması için Δ=16−4p=4(4−p)\Delta = 16 - 4p = 4(4-p) ifadesinin tam kare olmaması gerekir. Bu durum p=3p=3 (kökler 1 ve 3) ve p=4p=4 (kökler 2 ve 2) değerlerini eler.

Anahtar Kavram

İrrasyonel ve rasyonel sayı kümelerinin özellikleri, tam sayılarla işlemler ve iki kare/küp toplamı özdeşliklerinin sayı kümeleriyle ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru