Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için a2≠b2a^2 \neq b^2 olmak üzere,
A={a+b,  a−b,  a⋅b,  ab}A = \{a+b,\; a-b,\; a\cdot b,\; \frac{a}{b}\}
kümesi tan��mlanıyor.

AA kümesinin elemanlarından iki tanesinin irrasyonel sayı, diğer iki tanesinin ise tam sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a2+b2a^2 + b^2 bir rasyonel sayıdır.
II. a2⋅b2a^2 \cdot b^2 bir tam sayıdır.
III. a2−b2a^2 - b^2 bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü a^2 + b^2 ifadesi her olası durumda rasyonel bir sayı belirtirken, a^2 * b^2 ifadesi ise her durumda bir tam sayı belirtir. a^2 - b^2 ifadesi ise irrasyonel bir değer alabildiği için kesinlikle doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki elemanların analiz edilmesi ve olası durumların belirlenmesi
a2≠b2a^2 \neq b^2 koşulu altında a≠±ba \neq \pm b olduğundan a+b≠0a+b \neq 0 ve a−b≠0a-b \neq 0'dır.
Kümedeki elemanların sıfırdan farklı olduğunu doğrulamak ve sadeleştirme hatalarını önlemek için.
2
Hangi eleman çiftlerinin aynı anda tam sayı olabileceğinin belirlenmesi
{a+b,a−b}\{a+b, a-b\}, {a+b,a/b}\{a+b, a/b\} ve {a−b,a/b}\{a-b, a/b\} çiftleri aynı anda tam sayı olamaz; aksi halde aa ve bb rasyonel olup kümede hiç irrasyonel sayı kalmazdı. Bu nedenle tam sayı olan iki eleman {a+b,ab}\{a+b, ab\}, {a−b,ab}\{a-b, ab\} veya {ab,a/b}\{ab, a/b\} çiftlerinden biri olmalıdır. Her üç durumda da abab kesinlikle bir tam sayıdır.
Soruda verilen iki tam sayı ve iki irrasyonel sayı bulunması koşulunu sağlayan durumları sınırlandırmak için.
3
Belirlenen durumlar altında öncüllerin teker teker test edilmesi
1. ve 2. durumlarda a2+b2a^2+b^2 ifadesi tam sayı, 3. durumda ise a2+b2=ab⋅(a/b)+aba/ba^2+b^2 = ab \cdot (a/b) + \frac{ab}{a/b} rasyonel sayı olur. Her durumda a2⋅b2=(ab)2a^2 \cdot b^2 = (ab)^2 bir tam sayıdır. Ancak a2−b2a^2-b^2 ifadesi irrasyonel değer alabilir.
Kesinlikle doğru olan ifadeleri bulmak ve karşıt örnekler oluşturarak yanlış olanları elemek için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık kuralları ve cebirsel işlemler altındaki davranışları
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru