Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir depodaki nn adet kutu, soldan sağa doğru 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n şeklinde ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu kutuların her birine, kutu numarasının 2 katının 3 fazlası kadar bilye konuluyor.

Kutulardaki toplam bilye sayısı, kutuların üzerindeki numaraların toplamından 120 fazla olduğuna göre; numarası tek sayı olan kutulardaki toplam bilye sayısı kaçtır?

  1. A
    128
  2. B
    136
  3. 152Cevap
  4. D
    168
  5. E
    180

Cevap

Numarası tek sayı olan kutulardaki toplam bilye sayısı 152'dir.
Doğru cevap 152 bilyedir. Kutulardaki toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamının farkından yararlanarak kutu sayısı (nn) 16 olarak bulunur. 16 kutudan numarası tek sayı olan 8 kutudaki bilye sayıları sırasıyla 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ve 33'tür. Bu sayıların toplamı 152 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kutulardaki toplam bilye sayısını veren ifadeyi yazmak.
ii. kutudaki bilye sayısı 2i+32i + 3 olduğundan, toplam bilye sayısı ∑i=1n(2i+3)\sum_{i=1}^n (2i+3) olur.
Toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için genel toplam ifadesini bulmamız gerekir.
2
Toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamı arasındaki farkı denklem haline getirmek.
∑i=1n(2i+3)−∑i=1ni=120  ⟹  ∑i=1n(i+3)=120  ⟹  n(n+1)2+3n=120\sum_{i=1}^n (2i+3) - \sum_{i=1}^n i = 120 \implies \sum_{i=1}^n (i+3) = 120 \implies \frac{n(n+1)}{2} + 3n = 120 denklemi elde edilir.
Soruda verilen bilye sayısının kutu numaraları toplamından 120 fazla olduğu bilgisi bu denklemi kurmamızı sağlar.
3
Elde edilen denklemi düzenleyip kutu sayısı olan nn değerini bulmak.
n2+7n2=120  ⟹  n2+7n−240=0  ⟹  (n−16)(n+15)=0\frac{n^2 + 7n}{2} = 120 \implies n^2 + 7n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0 olur. nn pozitif tam sayı olduğundan n=16n = 16 bulunur.
Kutuların toplam sayısını bularak hangi kutuların tek numaralı olduğunu belirlemek için bu denklemin çözülmesi gerekir.
4
Numarası tek sayı olan kutuları belirlemek ve bu kutulardaki bilye sayılarını bulmak.
Kutular 1,3,5,…,151, 3, 5, \dots, 15 olmak üzere 8 adettir. Bu kutulardaki bilye sayıları sırasıyla 2(1)+3=52(1)+3=5, 2(3)+3=92(3)+3=9, …\dots, 2(15)+3=332(15)+3=33 şeklindedir.
Tek numaralı kutuların bilye sayıları toplamını bulmak için her bir tek numaralı kutuda kaç bilye olduğunu belirlemeliyiz.
5
Belirlenen bilye sayılarının ardışık toplamını hesaplamak.
Terim sayısı 8, ilk terim 5 ve son terim 33 olan ardışık toplam: 5+332×8=19×8=152\frac{5+33}{2} \times 8 = 19 \times 8 = 152 bulunur.
Sonuca ulaşmak için tek numaralı kutulardaki tüm bilyeleri toplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı formülleri ve aritmetik dizilerde terim toplamı bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru