Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri

Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesini, Q′\mathbb{Q}' irrasyonel sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesini göstermektedir.

Boş kümeden farklı bir A⊂RA \subset \mathbb{R} kümesi için;
* Birbirinden farklı her x,y∈Ax, y \in A için x+y∈Qx + y \in \mathbb{Q} ise AA kümesine toplamsal rasyonel küme,
* Birbirinden farklı her x,y∈Ax, y \in A için x⋅y∈Q′x \cdot y \in \mathbb{Q}' ise AA kümesine çarpımsal irrasyonel küme

tanımlamaları yapılıyor.

Buna göre;
I. İki elemanlı bir toplamsal rasyonel kümenin tüm elemanları irrasyonel sayı olabilir.
II. Üç elemanlı bir çarpımsal irrasyonel küme bulunabilir.
III. Hem toplamsal rasyonel hem de çarpımsal irrasyonel olan iki elemanlı bir kümenin elemanlarının kareleri toplamı rasyoneldir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
I. öncülde verilen durum doğrudur. Örneğin, A={2,−2}A = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\} kümesi iki elemanlıdır ve elemanlarının her ikisi de irrasyoneldir. Kümenin birbirinden farklı elemanlarının toplamı 2+(−2)=0∈Q\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \in \mathbb{Q} olduğundan bu küme toplamsal rasyoneldir. II. öncülde verilen durum doğrudur. Örneğin, A={21/8,23/8,29/8}A = \{2^{1/8}, 2^{3/8}, 2^{9/8}\} kümesi üç elemanlıdır. Bu kümeden seçilen her farklı ikilinin çarpımı (21/2=22^{1/2} = \sqrt{2}, 25/42^{5/4} ve 23/2=222^{3/2} = 2\sqrt{2}) irrasyoneldir. Dolayısıyla üç elemanlı bir çarpımsal irrasyonel küme yazılabilir. Bu iki öncülün doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için iki elemanlı ve elemanları irrasyonel olan bir küme seçelim.
A={2,−2}A = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\} kümesini ele alalım. Bu kümedeki elemanlar irrasyoneldir.
Birbirinden farklı elemanların toplamı 2+(−2)=0\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 olup rasyoneldir. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
2
II. öncülün doğruluğunu test etmek amacıyla elemanları arasındaki çarpımları irrasyonel olan üç elemanlı bir küme kuralım.
A={21/8,23/8,29/8}A = \{2^{1/8}, 2^{3/8}, 2^{9/8}\} kümesini oluşturalım. Farklı elemanların çarp��mları 21/2=22^{1/2} = \sqrt{2}, 25/42^{5/4} ve 23/2=222^{3/2} = 2\sqrt{2} olup hepsi irrasyoneldir.
Tüm ikili çarpımlar irrasyonel çıktığı için bu küme üç elemanlı bir çarpımsal irrasyonel kümedir. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
3
III. öncülü incelemek i��in hem toplamsal rasyonel hem de çarpımsal irrasyonel olan iki elemanlı bir A={a,b}A = \{a, b\} kümesi varsayalım.
a+b=q∈Qa+b = q \in \mathbb{Q} ve a⋅b=i∈Q′a \cdot b = i \in \mathbb{Q}' olur. Elemanların kareleri toplamı a2+b2=(a+b)2−2ab=q2−2ia^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = q^2 - 2i olarak yazılır.
q2q^2 rasyonel ve 2i2i irrasyonel olduğundan, farkları olan q2−2iq^2 - 2i irrasyonel bir sayıdır. Dolayısıyla kareler toplamı rasyonel olamaz, III. öncül yanlıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri arasındaki ilişkiler, rasyonel ve irrasyonel sayıların cebirsel özellikleri.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru