Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Bir dondurucunun iç sıcaklığı x∘Cx^{\circ}\text{C} olarak ayarlanmıştır. Dondurucunun sıcaklık kontrol ünitesi, iç sıcaklığın 3∘C3^{\circ}\text{C}'ye olan uzaklığının 4∘C4^{\circ}\text{C}'den sapma miktarını ölçmektedir. Bu sapma miktarı 2∘C2^{\circ}\text{C} olduğunda ünitede bir uyarı lambası yanmaktadır.

Uyarı lambasının yandığı bilinen bir anda, dondurucunun iç sıcaklığının alabileceği pozitif tam sayı değerlerinin toplamı kaç ∘C^{\circ}\text{C}'dir?

  1. A
    12
  2. B
    14
  3. 15Cevap
  4. D
    9
  5. E
    6

Cevap

Pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 15'tir.
Denklemin çözümünden elde edilen kökler −3-3, 11, 55 ve 99 sayılarıdır. Bu değerlerden pozitif tam sayı şartını sağlayanlar 11, 55 ve 99 olup, bu sayıların toplamı 1515'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen durumun matematiksel denklemini kurun.
∣∣x−3∣−4∣=2||x - 3| - 4| = 2 denklemi elde edilir.
İç sıcaklığın 3∘C3^{\circ}\text{C}'ye olan uzaklığı ∣x−3∣|x - 3| şeklinde ifade edilir. Bu uzaklığın 4∘C4^{\circ}\text{C}'den sapma miktarı ise ∣∣x−3∣−4∣||x - 3| - 4| olur. Bu sapmanın 2∘C2^{\circ}\text{C} olduğu belirtildiğinden denklem kurulur.
2
Dıştaki mutlak değer ifadesini kaldırarak iki farklı durum elde edin.
∣x−3∣−4=2|x - 3| - 4 = 2 veya ∣x−3∣−4=−2|x - 3| - 4 = -2 denklemleri yazılır. Buradan sırasıyla ∣x−3∣=6|x - 3| = 6 ve ∣x−3∣=2|x - 3| = 2 bulunur.
Bir ifadenin mutlak değeri 2 ise, o ifadenin kendisi ya 2'ye ya da -2'ye eşittir.
3
Elde edilen iki farklı denklemi ayrı ayrı çözün.
∣x−3∣=6  ⟹  x−3=6|x - 3| = 6 \implies x - 3 = 6 veya x−3=−6x - 3 = -6 olur. Buradan x=9x = 9 veya x=−3x = -3 bulunur. ∣x−3∣=2  ⟹  x−3=2|x - 3| = 2 \implies x - 3 = 2 veya x−3=−2x - 3 = -2 olur. Buradan x=5x = 5 veya x=1x = 1 bulunur.
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği değerler, içerideki ifadenin pozitif ve negatif alternatifleri incelenerek tespit edilir.
4
Bulunan kökler arasından pozitif tam sayı şartını sağlayanları belirleyin ve toplayın.
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 1, 5 ve 9'dur. Toplamları: 1+5+9=151 + 5 + 9 = 15 olur.
Sıcaklık değerinin pozitif tam sayı olması istendiğinden, negatif bir sayı olan −3-3 değeri çözüme dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümü ve gerçek hayat problemlerine uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru