Bir sayı doğrusunda a ve b gerçek sayıları arasındaki uzaklık 6 birimdir. Bu sayı doğrusun… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir sayı doğrusunda $a$ ve $b$ gerçek sayıları arasındaki uzaklık $6$ birimdir. Bu sayı doğrusunda, $a$ ve $b$ sayılarına olan uzaklıklarının farkı $4$ birim olan $x$ gerçek sayılarının oluşturduğu küme, $|x - \frac{a+b}{2}| = 2$ denkleminin çözüm kümesi ile eşittir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

İfadenin doğruluğu, sayı doğrusundaki uzaklıkların farkı tanımının mutlak değerli denklem çözümüyle birebir örtüşmesiyle gösterilir.

Adım Adım Çözüm

a

b

sayıları arasındaki uzaklık

6

birim olarak verildiğinden, genelliği bozmadan

b = a + 6

alalım. Bu durumda sayıların orta noktası

\frac{a+b}{2} = a+3

olur.

Orta nokta

a+3

olarak bulunur.

Değişkenleri tek bir parametre cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.

x

sayısının

a

b

sayılarına olan uzaklıklarının farkı

4

birim olan koşulu denklem olarak yazalım:

||x-a| - |x-(a+6)|| = 4

y = x-a

dönüşümü yaparak

||y| - |y-6|| = 4

denklemini çözelim.

y

değerleri

1

5

olarak bulunur. Dolayısıyla

x

değerleri

a+1

a+5

olur.

Mutlak değerli denklemin kritik noktaları olan

y=0

y=6

aralıklarına göre inceleme yapılması gerekir.

|x - \frac{a+b}{2}| = 2

denklemini çözelim.

\frac{a+b}{2} = a+3

olduğundan denklem

|x - (a+3)| = 2

haline gelir.

x - a - 3 = 2 \Rightarrow x = a+5

veya

x - a - 3 = -2 \Rightarrow x = a+1

bulunur.

Mutlak değerli temel denklem çözme kuralı (

|u| = c \Rightarrow u = c

veya

u = -c

) uygulanır.

Her iki çözüm kümesini karşılaştıralım.

İlk koşulu sağlayan küme

\{a+1, a+5\}

ve ikinci denklemin çözüm kümesi

\{a+1, a+5\}

olup birbirine eşittir.

İki kümenin elemanlarının birebir aynı olduğunu doğrulamak ifadenin doğruluğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusunda uzaklık kavramının mutlak değer ile ilişkisi ve mutlak değerli denklemlerin çözümü.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru