Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir kütüphanedeki kitaplar, en üstteki 1. raftan başlayarak aşağıya doğru sıralanmıştır. Bu kütüphanedeki kitap düzeniyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her raftaki kitap sayısı, bir üstündeki raftaki kitap sayısından 2 fazladır.
* Raflarda bulunan kitap sayıları birer ardışık tek sayıdır.
* En alt rafta bulunan kitap sayısı, en üst rafta bulunan kitap sayısının 3 katıdır.

Kütüphanede toplam 264 kitap olduğuna göre, bu kütüphanedeki toplam raf sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    11
  4. 12Cevap
  5. E
    15

Cevap

Toplam raf sayısı 12'dir.
Soruda verilen bilgilere göre kitap sayıları ardışık tek sayılardır ve aralarındaki fark 2'dir. İlk raftaki kitap sayısına aa, toplam raf sayısına nn dersek, son raftaki kitap sayısı a+2n−2a + 2n - 2 olur. Son raftaki kitap sayısı ilk raftakinin 3 katı olduğu için a+2n−2=3a  ⟹  a=n−1a + 2n - 2 = 3a \implies a = n - 1 eşitliği bulunur. Tüm raflardaki toplam kitap sayısı ise n×a+3a2=2ann \times \frac{a + 3a}{2} = 2an formülüyle hesaplanır. Burada a=n−1a = n - 1 yazıldığında 2n(n−1)=264  ⟹  n(n−1)=1322n(n - 1) = 264 \implies n(n - 1) = 132 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan nn değeri 12'dir. n=12n = 12 olduğunda a=11a = 11 (tek sayı) olup tüm koşullar sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri tanımlama
Raf sayısı nn ve 1. raftaki kitap sayısı aa (tek sayı) olsun. Kitap say��ları ardışık tek sayılar olduğundan, kk. raftaki kitap sayısı a+2(k−1)a + 2(k-1) olur. Bu durumda en alt raftaki (nn. raf) kitap sayısı l=a+2(n−1)l = a + 2(n-1) olarak ifade edilir.
Soruda verilen ardışık tek sayılar kuralına göre her raftaki kitap sayısını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.
2
İlk ve son raf ilişkisini kurma
Son raftaki kitap sayısı en üst raftakinin 3 katı olduğuna göre:
a+2(n−1)=3aa + 2(n-1) = 3a
2(n−1)=2a2(n-1) = 2a
a=n−1a = n-1 elde edilir.
İlk terim ile terim sayısı arasındaki matematiksel ilişkiyi bulmak için verilen kat ilişkisi kullanılır.
3
Toplam formülünü uygulama ve denklem çözme
Toplam kitap sayısı (SS):
S=n×a+l2=n×a+3a2=2anS = n \times \frac{a+l}{2} = n \times \frac{a+3a}{2} = 2an
a=n−1a = n-1 ifadesini yerine yazarsak:
2n(n−1)=2642n(n-1) = 264
n(n−1)=132n(n-1) = 132 elde edilir.
Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı değeri 12×11=13212 \times 11 = 132 olduğundan n=12n = 12 bulunur.
Toplam kitap sayısı verisini kullanarak raf sayısını veren ikinci dereceden denklemi kurmak ve çözmek gerekir.
4
Koşulları kontrol etme
n=12n = 12 için a=12−1=11a = 12 - 1 = 11 olur. 11 bir tek sayı olduğu için kitap sayılarının ardışık tek sayılar olması koşulu sağlanır.
Bulunan değerlerin soruda belirtilen sayı kümesi özelliklerine (tek sayı olma koşuluna) uygunluğunu doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların genel terimi ve terimler toplamı formülü
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru