Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Bir AA kümesi,
A={∅,{∅},2,{2},{2,3}}A = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, 2, \{ 2 \}, \{ 2, 3 \} \}
olarak veriliyor.
Buna göre;
I. {2,3}⊂A\{2, 3\} \subset A
II. {∅,{2}}⊂A\{\emptyset, \{2\}\} \subset A
III. {{2,3}}⊂A\{\{2, 3\}\} \subset A
ifadelerinden hangileri doğrudur?
  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
Doğru olan ifadeler II ve III ifadeleridir. A kümesinin elemanları incelendiğinde ∅\emptyset ve {2}\{2\} ifadelerinin kümenin birer elemanı olduğu görülür. Bu elemanların bir araya getirilmesiyle oluşturulan {∅,{2}}\{\emptyset, \{2\}\} kümesi A'nın bir alt kümesidir. Aynı şekilde, {2,3}\{2, 3\} ifadesi A kümesinin bir elemanı olduğundan, bu elemanı içeren {{2,3}}\{\{2, 3\}\} kümesi de A'nın bir alt kümesi olur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını tek tek belirlemek
A kümesinin elemanları sırasıyla şunlardır: boş küme sembolü, boş küme sembolünü içeren küme, 2 sayısı, 2 sayısını içeren küme ve 2 ile 3 sayılarını içeren küme. Yani, elemanlar sırasıyla ∅\emptyset, {∅}\{\emptyset\}, 22, {2}\{2\} ve {2,3}\{2, 3\} olmak üzere 5 tanedir.
Alt küme ve eleman ilişkilerini test etmek için öncelikle kümenin eleman sınırlarını doğru belirlemek gerekir.
2
I. öncüldeki alt küme ilişkisinin doğruluğunu kontrol etmek
{2,3}⊂A\{2, 3\} \subset A ifadesinin doğru olması için bu kümenin elemanları olan 2 ve 3 sayılarının her ikisinin de A kümesinin elemanı olması gerekir. Ancak 3∉A3 \notin A olduğundan bu ifade yanlıştır. Kümedeki {2,3}\{2, 3\} ifadesi A'nın bir elemanıdır ({2,3}∈A{\{2, 3\} \in A}), alt kümesi değildir.
Bir kümenin alt küme olabilmesi için içerdiği tüm elemanların ana kümede bulunması şarttır.
3
II. öncüldeki alt küme ilişkisinin doğruluğunu kontrol etmek
{∅,{2}}⊂A\{\emptyset, \{2\}\} \subset A ifadesinin doğru olması için bu kümenin elemanları olan ∅\emptyset ve {2}\{2\} ifadelerinin A kümesinin elemanı olması gerekir. A kümesinin elemanlarını incelediğimizde ∅∈A\emptyset \in A ve {2}∈A\{2\} \in A koşullarının sağlandığını görürüz. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
Her iki eleman da A kümesine ait olduğu için bu elemanların oluşturduğu küme A'nın alt kümesidir.
4
III. öncüldeki alt küme ilişkisinin doğruluğunu kontrol etmek
{{2,3}}⊂A\{\{2, 3\}\} \subset A ifadesinin doğru olması için bu kümenin tek elemanı olan {2,3}\{2, 3\} ifadesinin A kümesinin bir elemanı olması gerekir. Küme tanımına baktığımızda {2,3}∈A\{2, 3\} \in A ifadesi doğrudur. Dolayısıyla bu elemanın küme parantezine alınmasıyla oluşan {{2,3}}\{\{2, 3\}\} kümesi A'nın bir alt kümesidir. Bu ifade doğrudur.
Bir eleman küme parantezi ile çevrelendiğinde ana kümenin bir alt kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru