Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı, her bir grupta eşit sayıda öğrenci olacak şekilde gruplara ayrılacaktır. Sınıf mevcudu iki basamaklı ABAB sayısıdır.

* Bu sınıf AA tane gruba ayrıldığında her grupta B+4B+4 öğrenci,
* Aynı sınıf BB tane gruba ayrıldığında ise her grupta 2A−22A-2 öğrenci

olmaktadır.

Buna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?

  1. A
    39
  2. B
    42
  3. 48Cevap
  4. D
    77
  5. E
    84

Cevap

Sınıf mevcudu 48'dir.
Sınıf mevcudu olan ABAB iki basamaklı sayısı 10A+B10A+B olarak çözümlenir. Soruda verilen gruplandırma koşulları denklemleştirildiğinde 6A+B=AB6A+B=AB ve 10A+3B=2AB10A+3B=2AB bağıntıları elde edilir. İlk bağıntıdan B=6AA−1B = \frac{6A}{A-1} yazılır ve AA ile BB'nin rakam olma şartı incelendiğinde olası (A,B)(A, B) çiftleri (3,9)(3, 9), (4,8)(4, 8) ve (7,7)(7, 7) bulunur. Bu çiftlerden yalnızca (4,8)(4, 8) çifti ikinci bağıntıyı (10A+3B=2AB10A+3B=2AB) doğruladığından, sınıf mevcudu olan ABAB sayısı 48'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıf mevcudu olan iki basamaklı ABAB sayısını basamak çözümlemesi kullanarak 10A+B10A + B şeklinde ifade etmek ve verilen koşullara göre iki adet denklem kurmak.
Birinci koşuldan 10A+B=A(B+4)⇒6A+B=AB10A + B = A(B + 4) \Rightarrow 6A + B = AB denklemi, ikinci koşuldan 10A+B=B(2A−2)⇒10A+3B=2AB10A + B = B(2A - 2) \Rightarrow 10A + 3B = 2AB denklemi elde edilir.
Problemi cebirsel olarak modellemek ve bilinmeyenleri bulmak için denklem sistemini oluşturmak gerekir.
2
Birinci denklemi kullanarak BB değişkenini AA cinsinden yalnız bırakmak ve AA ile BB'nin rakam olma koşulunu göz önünde bulundurarak olası değer çiftlerini belirlemek.
6A+B=AB⇒B(A−1)=6A⇒B=6AA−16A + B = AB \Rightarrow B(A - 1) = 6A \Rightarrow B = \frac{6A}{A-1} elde edilir. AA ve BB birer rakam ve A≠0,B≠0A \neq 0, B \neq 0 olduğundan, A−1A-1 ifadesi 66'yı tam bölmelidir. Buradan olası (A,B)(A, B) ��iftleri (3,9)(3, 9), (4,8)(4, 8) ve (7,7)(7, 7) olarak bulunur.
Değişkenlerin rakam olma sınırlandırmasını kullanarak olası çözümlerin sayısını azaltmak.
3
Bulunan olası (A,B)(A, B) çiftlerini ikinci denklemde (10A+3B=2AB10A + 3B = 2AB) yerine yazarak her iki koşulu birden sağlayan doğru çifti tespit etmek.
(4,8)(4, 8) çifti için 10(4)+3(8)=6410(4) + 3(8) = 64 ve 2(4)(8)=642(4)(8) = 64 olup eşitlik sağlanır. (3,9)(3, 9) ve (7,7)(7, 7) çiftleri ise bu denklemi sağlamaz.
Sistemdeki tüm denklemleri ve kısıtları sağlayan tekil ve doğru çözüme ulaşmak.
4
Bulunan AA ve BB rakamlarını kullanarak ABAB iki basamaklı sayısını oluşturmak.
A=4A=4 ve B=8B=8 olduğundan, sınıf mevcudu AB=48AB = 48 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen nihai sınıf mevcudu değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Basamak Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru