Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri
xx ve yy birbirinden farklı iki irrasyonel sayı olmak üzere,
x+y=6x + y = 6
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği pozitif tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 23

Cevap

İki irrasyonel say��nın toplamı 6 ve çarpımı pozitif bir tam sayı olduğunda, bu çarpımın alabileceği değerlerin toplamı 23'tür.
Denklemin gerçel ve birbirinden farklı irrasyonel köklere sahip olması için diskriminantın tam kare olmayan pozitif bir sayı olması gerekir. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı değerleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 7'dir. Bu değerlerin toplamı 23 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
y=6−xy = 6 - x dönüşümü yap��larak çarpım ifadesi P=x(6−x)P = x(6 - x) olarak yazılır.
x2−6x+P=0x^2 - 6x + P = 0 denklemi elde edilir.
Değişkenleri tek bir denklemde birleştirip ikinci dereceden denklem formatına getirmek için.
2
Denklemin kökleri diskriminant yöntemiyle veya tam kareye tamamlama ile x=3±9−Px = 3 \pm \sqrt{9 - P} olarak bulunur.
xx ve yy köklerinin ifadesi elde edilir.
xx ve yy sayılarının irrasyonel olma şartını analiz edebilmek için kökleri açık biçimde yazmak gerekir.
3
xx ve yy gerçel ve birbirinden farklı olduğundan kök içi pozitif olmalıdır: 9−P>0  ⟹  P<99 - P > 0 \implies P < 9.
PP değeri için {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesi elde edilir.
PP değerinin pozitif tam sayı olma şartı ve gerçel kök varlığı sınırlandırılır.
4
xx ve yy'nin irrasyonel olması için 9−P9 - P ifadesinin tam kare olmaması gerektiği saptanır.
9−P≠1  ⟹  P≠89 - P \neq 1 \implies P \neq 8 ve 9−P≠4  ⟹  P≠59 - P \neq 4 \implies P \neq 5 şartları bulunur.
Karekök dışına rasyonel olarak çıkacak durumları elemek için.
5
Kalan uygun PP değerleri toplanır: 1+2+3+4+6+71 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7.
2323 elde edilir.
İstenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Tanımı ve Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru