Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme

Bir dijital tartı, üzerine konulan paketlerin gram cinsinden üç basamaklı ağırlıklarını; yüzler basamağındaki rakamı onlar basamağına, onlar basamağındaki rakamı birler basamağına, birler basamağındaki rakamı ise yüzler basamağına kaydırarak göstermektedir. Örneğin; gerçek ağırlığı 345345 gram olan bir paketi bu tartı 534534 gram olarak göstermektedir.

Bu tartıya gerçek ağırlıkları sırasıyla üç basamaklı ABCABC ve CABCAB gram olan iki paket ayrı ayrı konulduğunda, tartının gösterdiği değerlerin toplamı 798798 gram olmaktadır.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    11
  3. 12Cevap
  4. D
    13
  5. E
    14

Cevap

Rakamların toplamı 12'dir.
Yapılan basamak analizi ve rakam kısıtları incelemesi sonucunda, birinci paketin gerçek ağırlığının ABC=534ABC = 534 olduğu ve bu sayının rakamları toplamının 12 olduğu belirlenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Tartının rakamları kaydırma kuralını çözümleyelim ve paketlerin gösterilen ağırlıklarını bulalım.
Gerçek ağırlığı ABCABC olan paketin yüzler basamağı (AA) onlar basamağına, onlar basamağı (BB) birler basamağına, birler basamağı (CC) ise yüzler basamağına geçer. Dolayısıyla bu paket tartıda CABCAB olarak görünür. Benzer şekilde, gerçek ağırlığı CABCAB olan paketin yüzler basamağı (CC) onlar basamağına, onlar basamağı (AA) birler basamağına, birler basamağı (BB) yüzler basamağına geçer. Bu paket de tartıda BCABCA olarak görünür.
Tartının çalışma mekanizmasını basamak analiziyle ifade etmek için bu adım gereklidir.
2
Tartıda gösterilen değerlerin toplamını basamak çözümlemesi yöntemiyle yazalım.
CAB+BCA=798CAB + BCA = 798 olup çözümleme yapıldığında:
(100C+10A+B)+(100B+10C+A)=798(100C + 10A + B) + (100B + 10C + A) = 798
11A+101B+110C=79811A + 101B + 110C = 798 elde edilir.
Üç basamaklı sayıların toplamını tek bir denklemde birleştirmek için çözümleme yapılır.
3
Elde edilen 11A+101B+110C=79811A + 101B + 110C = 798 denklemini rakamların sınırların�� kullanarak çözelim.
Denklemin her iki tarafının 10 ile bölümünden kalana bakalım:
11A+101B+110C≡A+B≡8(mod10)11A + 101B + 110C \equiv A + B \equiv 8 \pmod{10} (çünkü 798 sayısının birler basamağı 8'dir).
AA ve BB birer rakam ve sayılar üç basamaklı olduğundan A≥1,B≥1A \ge 1, B \ge 1 olmalıdır. Dolayısıyla A+B=8A + B = 8 veya A+B=18A + B = 18 olabilir.
- Eğer A+B=18A + B = 18 ise, A=9A = 9 ve B=9B = 9 olmalıdır. Denklemde yerine yazarsak:
11(9)+101(9)+110C=798⇒1008+110C=79811(9) + 101(9) + 110C = 798 \Rightarrow 1008 + 110C = 798 olur ki bu durumda CC negatif bir değer alır. Dolayısıyla bu durum imkansızdır.
- Eğer A+B=8A + B = 8 ise, A=8−BA = 8 - B yazabiliriz. Denklemde yerine koyalım:
11(8−B)+101B+110C=79811(8 - B) + 101B + 110C = 798
88−11B+101B+110C=79888 - 11B + 101B + 110C = 798
90B+110C=710⇒9B+11C=7190B + 110C = 710 \Rightarrow 9B + 11C = 71 elde edilir.
9B+11C=719B + 11C = 71 denkleminde CC rakamına değerler verelim:
C=4C = 4 için 9B+44=71⇒9B=27⇒B=39B + 44 = 71 \Rightarrow 9B = 27 \Rightarrow B = 3 olur.
Bu durumda A=8−3=5A = 8 - 3 = 5 bulunur. Diğer hiçbir CC rakamı için BB bir tam sayı (rakam) çıkmaz.
Rakam olma koşulunu ve basamak değerlerini doğru uygulayarak bilinmeyenleri tek tek bulmak için bu analiz gereklidir.
4
Bulunan rakamların toplamını hesaplayalım.
A+B+C=5+3+4=12A + B + C = 5 + 3 + 4 = 12
Soruda bizden istenen nihai toplama ulaşmak için bu işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru