Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir demir yolu şirketine ait yolcu treninde A, B ve C olmak üzere üç farklı vagon tipi bulunmaktadır. Bu vagon tiplerinin her birinin koltuk kapasitesi sırasıyla 40, 60 ve 80'dir.

Bu trendeki vagonlar ve koltuk sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Trendeki toplam vagon sayısı 18'dir.
* Trendeki toplam koltuk sayısı 1120'dir.
* A tipi vagonlardaki toplam koltuk sayısı; B ve C tipi vagonlardaki toplam koltuk sayılarının farkının mutlak değerine eşittir.

Buna göre, bu trendeki B tipi vagon sayısı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

B tipi vagon sayısı 6'dır.
Verilen vagon sayıları ve koltuk kapasiteleriyle kurulan sistemde, vagon sayısının pozitif tam sayı olması şartını sağlayan tek çözüm kümesinde B tipi vagon sayısı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenler için değişkenler tanımlanarak ilk denklemler kurulur.
A, B ve C tipi vagon sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olsun. Vagon sayısı denklemi: x+y+z=18x + y + z = 18, koltuk sayısı denklemi: 40x+60y+80z=112040x + 60y + 80z = 1120 olur.
Problemde verilen bilgileri matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.
2
Koltuk sayısı denklemi sadeleştirilir ve mutlak değerli koşul yazılır.
Koltuk sayısı denklemi 20 ile bölünerek 2x+3y+4z=562x + 3y + 4z = 56 elde edilir. Üçüncü koşula göre ∣60y−80z∣=40x  ⟹  ∣3y−4z∣=2x|60y - 80z| = 40x \implies |3y - 4z| = 2x olur.
İşlemleri kolaylaştırmak ve tüm koşulları denklem sistemine dahil etmek için.
3
Mutlak değerin durumları incelenerek tam sayı koşulu kontrol edilir.
1. Durum: 3y−4z=2x  ⟹  2x−3y+4z=03y - 4z = 2x \implies 2x - 3y + 4z = 0. Bu denklem ile 2x+3y+4z=562x + 3y + 4z = 56 ortak çözülürse 6y=56  ⟹  y=28/36y = 56 \implies y = 28/3 olur. Vagon sayısı tam sayı olması gerektiğinden bu durum geçerli değildir. 2. Durum: 4z−3y=2x  ⟹  2x+3y−4z=04z - 3y = 2x \implies 2x + 3y - 4z = 0 olmalıdır.
Mutlak değerin tanımı gereği iki olası durum vardır ve vagon sayısı tam sayı olmak zorundadır.
4
Geçerli durum için denklem sistemi çözülür.
2x+3y−4z=02x + 3y - 4z = 0 ve 2x+3y+4z=562x + 3y + 4z = 56 denklemleri toplanırsa 4x+6y=56  ⟹  2x+3y=284x + 6y = 56 \implies 2x + 3y = 28 olur. Buradan 4z=2x+3y=28  ⟹  z=74z = 2x + 3y = 28 \implies z = 7 bulunur. z=7z = 7 ise x+y=11x + y = 11 olur. 2x+3y=282x + 3y = 28 ve 2(x+y)=222(x+y) = 22 denklemleri ortak çözüldüğünde y=6y = 6 ve x=5x = 5 bulunur.
B tipi vagon sayısını (yy) belirlemek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklem sistemleri ve mutlak değerli denklemlerin sayı problemlerine uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru