Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bozuk bir tartı, üzerine konulan cisimlerin ağırlıklar��nın birler ve onlar basamağındaki rakamların yerini değiştirerek göstermektedir. Örneğin; gerçek ağırlığı 42 kg42\text{ kg} olan bir cismi bu tartı 24 kg24\text{ kg} olarak göstermektedir. (Eğer cismin ağırlığının birler basamağındaki rakam 00 ise, onlar basamağındaki rakam birler basamağına geçmekte ve ağırlık bir basamaklı bir sayı olarak görünmektedir. Örneğin; gerçek ağırlığı 50 kg50\text{ kg} olan bir cisim bu tartıda 5 kg5\text{ kg} olarak görünmektedir.)

Gerçek ağırlıkları iki basamaklı birer tam sayı olan Ahmet ve Mehmet bu tartıda ayrı ayrı tartıldıklarında, tartının gösterdiği değerlerin toplamı 62 kg62\text{ kg} olmaktadır.

Ahmet ve Mehmet'in gerçek ağırlıklarının toplamı 125 kg125\text{ kg} olduğuna göre, bu iki kişinin gerçek ağırlıklarının farkının mutlak değeri en fazla kaç kg\text{kg} olabilir?

  1. A
    36
  2. B
    45
  3. 65Cevap
  4. D
    55
  5. E
    75

Cevap

Ahmet ve Mehmet'in gerçek ağırlıklarının farkının mutlak değeri en fazla 65 kg olabilir.
Gerçek ağırlıkların farkının mutlak değerinin en fazla 65 kg olacağını belirten seçenek doğrudur. Basamak çözümlemesi yapılıp denklemler çözüldüğünde onlar basamakları toplamının 12, birler basamakları toplamının 5 olduğu görülür. Farkı en büyük yapmak için Ahmet'in ağırlığı 95 kg, Mehmet'in ağırlığı 30 kg seçilir ve farkları 65 kg olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin ağırlıklarını iki basamaklı sayılar olarak modelleyin.
Ahmet'in gerçek ağırlığı 10a+b10a+b, Mehmet'in gerçek ağırlığı 10c+d10c+d olsun. Burada a,c∈{1,2,…,9}a, c \in \{1, 2, \dots, 9\} ve b,d∈{0,1,…,9}b, d \in \{0, 1, \dots, 9\}'dur. Gösterilen ağırlıklar ise sırasıyla 10b+a10b+a ve 10d+c10d+c olur.
Ağırlıkların basamak yapısını ve tartının rakamların yerini değiştirme özelliğini cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Verilen toplam ağırlık bilgilerini kullanarak denklem sistemini kurun.
Gerçek ağırlıklar toplamı: 10(a+c)+(b+d)=12510(a+c) + (b+d) = 125. Tartıdaki ağ��rlıklar toplamı: 10(b+d)+(a+c)=6210(b+d) + (a+c) = 62. a+c=Xa+c=X ve b+d=Yb+d=Y değişken dönüşümü yapıldığında denklem sistemi:
1) 10X+Y=12510X + Y = 125
2) 10Y+X=6210Y + X = 62 halini alır.
Basamak toplamlarını tek bir değişken altında toplayıp sistemi çözülebilir kılmak için.
3
Kurulan denklem sistemini çözerek basamak toplamlarını bulun.
Denklemler taraf tarafa toplanırsa 11(X+Y)=187  ⟹  X+Y=1711(X+Y) = 187 \implies X+Y=17 elde edilir. Taraf tarafa çıkarılırsa 9(X−Y)=63  ⟹  X−Y=79(X-Y) = 63 \implies X-Y=7 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden X=a+c=12X = a+c = 12 ve Y=b+d=5Y = b+d = 5 bulunur.
Gerçek ağırlıkların basamaklarındaki rakamlar arasındaki ilişkileri belirlemek için.
4
Gerçek ağırlıkların farkını en büyük yapacak rakamları seçin.
Farkın mutlak değeri ∣A−M∣=∣10(a−c)+(b−d)∣|A-M| = |10(a-c) + (b-d)| ifadesidir. a+c=12a+c=12 için farkı en büyük yapmak adına onlar basamağındaki rakamları a=9,c=3a=9, c=3 (farkları 6) seçeriz. b+d=5b+d=5 için birler basamağındaki rakamları b=5,d=0b=5, d=0 (farkları 5) seçeriz. Buradan en büyük fark 10(6)+5=6510(6) + 5 = 65 bulunur.
Kısıtlar dahilinde farkı maksimize edecek en büyük rakam ikililerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Sayı basamakları çözümlemesi ve iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme ve kısıtlar altında en büyük değeri bulma.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru