Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir kargo firması, gönderilen paketlerin ağırlıklarına göre ücretlendirme yapmaktadır. Firma, gönderilecek paketin ağırlığını kilogram (kg) cinsinden en yakın tam sayıya yuvarlayarak ücret hesaplamaktadır. (Örneğin; 3,4 kg3,4\text{ kg} ağırlığındaki bir paket 3 kg3\text{ kg}; 3,5 kg3,5\text{ kg} ağırlığındaki bir paket ise 4 kg4\text{ kg} olarak değerlendirilmektedir.)

Ücretlendirme kuralları şu şekildedir:
* Yuvarlanmış ağırlık x kgx\text{ kg} olmak üzere;
* x≤5x \le 5 ise paket başına sabit 40 TL40\text{ TL} ücret alınmaktadır.
* x>5x > 5 ise ilk 5 kg5\text{ kg} için 40 TL40\text{ TL}, 5 kg5\text{ kg}'ı aşan her 1 kg1\text{ kg} için ise 8 TL8\text{ TL} ek ücret alınmaktadır.

Bu kargo firmasıyla ağırlıkları kilogram cinsinden birer tam sayıya eşit olmayan üç paket gönderen Melih, bu paketler için sırasıyla AA, BB ve C TLC\text{ TL} ödeme yapmıştır.

Paketlerin gerçek ağırlıklarının toplamı bir tam sayıya eşit ve 18 kg18\text{ kg} olduğuna göre, Melih'in ödediği toplam ücret (A+B+CA + B + C) en az kaç TL'dir?

  1. A
    120
  2. B
    128
  3. 136Cevap
  4. D
    144
  5. E
    152

Cevap

Melih'in ödediği toplam ücret en az 136 TL'dir.
Paketlerin gerçek ağırlıklarının toplamı 18 kg ve her biri tam sayı dışı ondalıklı değerlere sahip olduğundan, ondalıklı kısımların toplamı en az 1 olmalıdır. Bu durum, ondalıklı kısımların tamamı 0.5'ten küçük seçilerek aşağı yuvarlanma sağlandığında, yuvarlanmış ağırlıklar toplamının en az 17 kg olmasını sağlar. Toplamı 17 kg yapan ve kargo tarifesine göre en ucuz sonucu veren ağırlık dağılımı 5, 5 ve 7 kg'dır. Buradan toplam minimum maliyet 40 + 40 + 56 = 136 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paketlerin gerçek ağırlıklarını tam sayı ve ondalıklı kısımlar olarak ifade edip denklem kuralım.
Paketlerin gerçek ağırlıkları wi=ki+riw_i = k_i + r_i olsun. Burada kik_i tam sayı ve 0<ri<10 < r_i < 1 (gerçek ağırlıklar tam sayı olmadığından rir_i sıfır olamaz). Paketlerin toplam ağırlığı: (k1+k2+k3)+(r1+r2+r3)=18(k_1 + k_2 + k_3) + (r_1 + r_2 + r_3) = 18 olur.
Gerçek ağırlıklar toplamı 18 tam sayısı olduğundan, ondalıklı kısımların toplamı olan r1+r2+r3r_1 + r_2 + r_3 ifadesinin de bir tam sayı olması gerektiğini görmek için.
2
Ondalık kısımların (rir_i) alabileceği değerler üzerinden yuvarlanmış ağırlıklar toplamını minimize edelim.
0<ri<10 < r_i < 1 olduğu için 0<r1+r2+r3<30 < r_1 + r_2 + r_3 < 3 olur. Toplam tam sayı olacağına göre r1+r2+r3r_1 + r_2 + r_3 değeri ya 1 ya da 2 olabilir. Yuvarlanmış ağırlıklar toplamını en küçük yapmak için r1+r2+r3=1r_1 + r_2 + r_3 = 1 durumunu seçeriz. Bu durumda, her bir ri<0.5r_i < 0.5 olarak seçilebilir (örneğin 0.40.4, 0.40.4 ve 0.20.2). Böylece tüm paketler aşağı yuvarlanır ve yuvarlanmış ağırlıklar toplamı x1+x2+x3=k1+k2+k3=18−1=17 kgx_1 + x_2 + x_3 = k_1 + k_2 + k_3 = 18 - 1 = 17\text{ kg} olur.
Yuvarlanmış ağırlıklar toplamını olabilecek en küçük değere getirip toplam ücreti minimize etmek için.
3
Toplamı 17 kg olan üç yuvarlanmış ağırlık için en düşük ücreti verecek dağılımı belirleyelim.
Sabit ücret sınırı 5 kg olduğundan, değişkenlerden olabildiğince fazlasını 5 kg ve altına ayarlamaya çalışırız. x1=5x_1 = 5, x2=5x_2 = 5 ve x3=7x_3 = 7 dağılımını seçersek, ilk iki paket için 40+40=80 TL40 + 40 = 80\text{ TL}, üçüncü paket için ise 40+8×(7−5)=56 TL40 + 8 \times (7 - 5) = 56\text{ TL} ücret ödenir. Toplam ücret 80+56=136 TL80 + 56 = 136\text{ TL} olur. Diğer dağılımlar (örneğin 5,6,65, 6, 6 da 136 TL verir; 4,5,84, 5, 8 ise 144 TL verir) daha düşük bir ücret vermez.
Ücretlendirme fonksiyonunun sınır değerlerini kullanarak en uygun maliyetli ağırlık kombinasyonunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sınır şartları, eşitsizlikler ve optimizasyon mantığının kurulması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru