Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir sporcu, 1212 gün süren bir antrenman kampı boyunca her gün, bir önceki gün koştuğu tur sayısından sabit sayıda fazla tur koşmuştur. Bu sporcunun kampın ilk 66 gününde koştuğu toplam tur sayısı, son 66 gününde koştuğu toplam tur sayısından 108108 eksiktir. Buna göre, bu sporcu kampın son günü ilk gününe göre kaç tur fazla koşmuştur?

  1. A
    30
  2. 33Cevap
  3. C
    36
  4. D
    44
  5. E
    54

Cevap

Sporcu kampın son günü, ilk gününe göre 33 tur fazla koşmuştur.
Sporcunun günlük artış miktarı dd olsun. Son 6 gündeki her gün, ilk 6 gündeki karşılık gelen günden tam olarak 6 gün sonradır. Bu yüzden son 6 gündeki her bir terim, ilk 6 gündeki eşleşen terimden 6d6d fazladır. Toplamda 6 terim çifti olduğu için son 6 günün toplamı, ilk 6 günün toplamından 6×6d=36d6 \times 6d = 36d fazladır. Buradan 36d=108  ⟹  d=336d = 108 \implies d = 3 elde edilir. Son gün (12. gün) ile ilk gün (1. gün) arasındaki fark 11d11d olduğundan, doğru cevap 11×3=3311 \times 3 = 33 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sporcunun ilk gün koştuğu tur sayısını aa ve her gün bir önceki güne göre yaptığı sabit artış miktarını dd olarak tanımlayalım.
Günlük tur sayıları sırasıyla: a,a+d,a+2d,…,a+11da, a+d, a+2d, \dots, a+11d olur.
Artış miktarı sabit olduğundan tur sayıları ortak farkı dd olan bir aritmetik dizi oluşturur.
2
İlk 6 günün ve son 6 günün toplam tur sayılarını aa ve dd cinsinden yazalım.
İlk 6 günün toplamı: a+(a+d)+⋯+(a+5d)=6a+15da + (a+d) + \dots + (a+5d) = 6a + 15d
Son 6 günün toplamı: (a+6d)+(a+7d)+⋯+(a+11d)=6a+51d(a+6d) + (a+7d) + \dots + (a+11d) = 6a + 51d olarak elde edilir.
Gruplar arasındaki farkı bulabilmek için iki dönemin toplamlarını ayrı ayrı cebirsel olarak ifade etmemiz gerekir.
3
İki toplam arasındaki farkı 108108'e eşitleyerek günlük artış miktarı dd'yi bulalım.
(6a+51d)−(6a+15d)=36d=108  ⟹  d=3(6a + 51d) - (6a + 15d) = 36d = 108 \implies d = 3 bulunur.
Soruda son 6 günün toplamının ilk 6 günün toplamından 108 fazla olduğu belirtilmiştir.
4
Son gün (12. gün) ile ilk gün (1. gün) arasındaki tur farkını hesaplayalım.
a12−a1=(a+11d)−a=11da_{12} - a_1 = (a + 11d) - a = 11d
d=3d = 3 olduğundan 11×3=3311 \times 3 = 33 bulunur.
12. gün ile 1. gün arasında 11 adet artış adımı (11d11d) bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Aritmetik artan ardışık sayı dizilerinde terimler toplamı ve terimler arası fark ilişkileri
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru