Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel Kavramı

Bir nn pozitif tam sayısı için n!n! sayısının farklı asal çarpanlarının sayısı A(n)A(n) ile gösterilmektedir.

Buna göre,
A(n+3)−A(n)=2A(n+3) - A(n) = 2
eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı nn doğal sayısı vardır?

Cevap: 6 adet

Cevap

Koşulu sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.
Faktöriyel tanımına göre A(n)A(n) değeri, nn sayısına eşit veya küçük asal sayıların adedini verir. A(n+3)−A(n)=2A(n+3) - A(n) = 2 eşitliği ise n+1,n+2,n+3n+1, n+2, n+3 sayılarından tam olarak iki tanesinin asal olmasını gerektirir. Sayıların teklik-çiftlik durumları incelendiğinde nn çift olmalı ve n+1n+1 ile n+3n+3 ikiz asal sayılar olmalıdır. İki basamaklı nn değerleri arasından bu şartı sağlayanlar 10,16,28,40,58,7010, 16, 28, 40, 58, 70 sayıları olup toplam 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
A(n)A(n) fonksiyonunun tanımını yapmak.
A(n)A(n) değeri, nn'den küçük veya nn'ye eşit asal sayıların adedidir.
n!n! sayıs��nın asal çarpanları 11 ile nn arasındaki asal sayılardan oluşur.
2
A(n+3)−A(n)=2A(n+3) - A(n) = 2 eşitliğinin anlamını yazmak.
{n+1,n+2,n+3}\{n+1, n+2, n+3\} kümesinde tam olarak 2 tane asal sayı bulunmalıdır.
Bu iki fonksiyon arasındaki fark, aradaki ardışık üç tam sayının içindeki asal sayıların adedini verir.
3
nn sayısının teklik-çiftlik durumunu sorgulamak.
nn sayısı çift olmak zorundadır.
nn tek olduğunda n+1n+1 ve n+3n+3 çift ve 2'den büyük olacağından asal olamazlar, bu da kümedeki asal sayısının en fazla 1 olabilmesine yol açar.
4
nn çift iken asal olabilecek sayıları belirlemek.
n+1n+1 ve n+3n+3 sayılarının ikisi de asal olmalıdır (ikiz asallar).
nn çift olduğunda n+2n+2 çift (ve >2>2) olacağından asal olamaz. Farkın 2 çıkabilmesi için geriye kalan iki sayının da asal olması gerekir.
5
İki basamaklı uygun nn değerlerini listelemek.
nn değerleri 10,16,28,40,58,7010, 16, 28, 40, 58, 70 olmak üzere 6 adettir.
10≤n≤9910 \le n \le 99 aralığında aralarında 2 fark bulunan ve ikisi de asal olan sayı çiftlerinin arasındaki çift sayılar belirlenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında asal çarpanların bulunması ve ikiz asal sayıların analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru