Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir okul kütüphanesindeki iki basamaklı abab tane rafın her birine eşit sayıda kitap dizilecektir. Bu işlemle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kitaplar her rafa 1212 adet dizilirse tüm kitaplar dizilmekte ve boş raf kalmamaktadır.
* Eğer kütüphanedeki raf sayısı iki basamaklı baba olsaydı ve her rafa 2121 kitap dizilseydi, yine tüm kitaplar dizilecek ve boş raf kalmayacaktı.
* Kütüphanedeki toplam kitap sayısı 300300 ile 600600 arasındadır.

Buna göre, kütüphanedeki raf sayısı (abab) kaçtır?

  1. A
    21
  2. B
    24
  3. C
    36
  4. 42Cevap
  5. E
    63

Cevap

Kütüphanedeki raf sayısı 42'dir.
Kütüphanedeki toplam kitap sayısı her iki durumda da aynı kalmaktadır. 12⋅ab=21⋅ba12 \cdot ab = 21 \cdot ba eşitliğinde basamak çözümlemesi yapıldığında a=2ba = 2b ilişkisine ulaşılır. abab ve baba iki basamaklı sayılar olduğu için aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan ve toplam kitap sayısı olan 12⋅ab12 \cdot ab değerini 300300 ile 600600 arasında tutan tek seçenek ab=42ab = 42 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren denklemi abab ve baba iki basamaklı sayıları cinsinden yazın.
Toplam kitap sayısı T=12⋅ab=21⋅baT = 12 \cdot ab = 21 \cdot ba olur.
12'şerli ve 21'erli dizimlerde kitap sayısının değişmediğini kullanarak iki basamaklı sayılarla bir eşitlik elde etmek gerekir.
2
İki basamakl�� sayıları çözümleyerek aa ve bb rakamları arasındaki ilişkiyi bulun.
12⋅(10a+b)=21⋅(10b+a)  ⟹  4⋅(10a+b)=7⋅(10b+a)  ⟹  40a+4b=70b+7a  ⟹  33a=66b  ⟹  a=2b12 \cdot (10a + b) = 21 \cdot (10b + a) \implies 4 \cdot (10a + b) = 7 \cdot (10b + a) \implies 40a + 4b = 70b + 7a \implies 33a = 66b \implies a = 2b elde edilir.
Basamak çözümlemesi yapılarak bilinmeyen rakamlar arasındaki doğrusal ilişkiyi sade bir biçimde ortaya çıkarmak gerekir.
3
aa ve bb rakamlarının alabileceği değerleri belirleyerek toplam kitap sayılarını hesaplayın.
aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olduğundan:
* b=1  ⟹  a=2  ⟹  ab=21b = 1 \implies a = 2 \implies ab = 21 ve T=12⋅21=252T = 12 \cdot 21 = 252
* b=2  ⟹  a=4  ⟹  ab=42b = 2 \implies a = 4 \implies ab = 42 ve T=12⋅42=504T = 12 \cdot 42 = 504
* b=3  ⟹  a=6  ⟹  ab=63b = 3 \implies a = 6 \implies ab = 63 ve T=12⋅63=756T = 12 \cdot 63 = 756
* b=4  ⟹  a=8  ⟹  ab=84b = 4 \implies a = 8 \implies ab = 84 ve T=12⋅84=1008T = 12 \cdot 84 = 1008
Olası tüm durumları inceleyerek hangi durumun kütüphanedeki kitap sayısı sınırlamasına uyacağını belirlemek gerekir.
4
Toplam kitap sayısının 300300 ile 600600 arasında olması koşulunu uygulayın.
300<T<600300 < T < 600 koşulunu sağlayan tek kitap sayısı T=504T = 504 olup, bu durum ab=42ab = 42 raf sayısına karşılık gelir.
Soruda verilen aralık kısıtına göre tek bir benzersiz çözüm seçilir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi yöntemiyle sayı problemlerinde denklem kurma ve kısıtlara göre değer verme işlemleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru