Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasamak Analizi ve Çözümleme

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı BCBC doğal sayısına bölündüğünde bölüm 13, kalan ise 12 olmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    1623
  2. 1947Cevap
  3. C
    1950
  4. D
    973
  5. E
    48

Cevap

Koşulu sağlayan tüm üç basamaklı sayıların toplamı 1947'dir.
Bölme algoritması ve basamak çözümlemesi adımları doğru uygulandığında elde edilen 25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğini sağlayan ve kalan koşulunu (12 < BC) gerçekleştiren üç farklı ABCABC sayısı (324, 649, 974) bulunur. Bu sayıların toplamı 1947'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölme işlemini bölme algoritması formülüyle yazmak ve basamak çözümlemesi uygulamak.
ABC=13⋅BC+12ABC = 13 \cdot BC + 12 eşitliği yazılır. ABCABC sayısını 100A+BC100A + BC olarak çözümlediğimizde: 100A+BC=13⋅BC+12100A + BC = 13 \cdot BC + 12 elde edilir.
Çözümleme yaparak AA rakamı ile iki basamaklı BCBC sayısı arasındaki ilişkiyi basitleştirmek.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirmek ve ortak paranteze almak.
100A=12⋅BC+12  ⟹  100A=12(BC+1)100A = 12 \cdot BC + 12 \implies 100A = 12(BC + 1) yazılır. Her iki tarafı 4 ile sadeleştirdiğimizde 25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğine ulaşılır.
Değişkenlerin alabileceği değerleri sınırlandırmak için sade bir oran elde etmek.
3
25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğini sağlayan AA rakamlarını ve BCBC değerlerini belirlemek.
25 ve 3 aralarında asal olduğundan, AA rakamı 3'ün katı olmalıdır. AA sıfırdan farklı bir rakam olduğundan A∈{3,6,9}A \in \{3, 6, 9\} olabilir.
- A=3A = 3 için: 25⋅3=3(BC+1)  ⟹  BC=2425 \cdot 3 = 3(BC + 1) \implies BC = 24 (Kalan 12, bölenden (2424) küçük olduğundan bu bölme işlemi geçerlidir. Sayı: 324)
- A=6A = 6 için: 25⋅6=3(BC+1)  ⟹  BC=4925 \cdot 6 = 3(BC + 1) \implies BC = 49 (Kalan 12, bölenden (4949) küçük olduğundan geçerlidir. Sayı: 649)
- A=9A = 9 için: 25⋅9=3(BC+1)  ⟹  BC=7425 \cdot 9 = 3(BC + 1) \implies BC = 74 (Kalan 12, bölenden (7474) küçük olduğundan geçerlidir. Sayı: 974)
Bölme kuralına (Kalan < Bölen) uygun olan tüm ABCABC sayılarını bulmak.
4
Koşulu sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamını hesaplamak.
324+649+974=1947324 + 649 + 974 = 1947 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağını ayırarak ABC=100A+BCABC = 100A + BC şeklinde çözümleme ve bölme algoritmasındaki kalan-bölen ilişkisini kullanma.
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru