Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir çikolata fabrikasında üretilen çikolatalar; A, B ve C kutularına her kutu tam dolacak şekilde yerleştirilecektir. Bu kutularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bir A kutusuna 1212 adet, bir B kutusuna 1818 adet, bir C kutusuna ise 3030 adet çikolata konulabilmektedir.
* Paketlemede kullanılan A ve B kutularının toplam sayısı, C kutularının toplam sayısının 33 katıdır.
* Paketlenen toplam çikolata sayısı 720720'dir.
* A kutularına yerleştirilen toplam çikolata sayısı, B kutularına yerleştirilen toplam çikolata sayısından fazladır.
* Her kutu tipinden en az 11 adet kullanılmıştır.

Buna göre, bu paketlemede kullanılan toplam kutu sayısı kaçtır?

  1. A
    2828
  2. B
    3636
  3. C
    3838
  4. 4040Cevap
  5. E
    4242

Cevap

40
Toplam çikolata sayısı denklemi kurulup sadeleştirildiğinde 11a+14b=36011a + 14b = 360 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümlerinden yalnızca A=20, B=10 ve C=10 değerleri A kutularındaki çikolataların B kutularındakilerden fazla olması koşulunu (12a>18b12a > 18b) sağlar. Bu durumda toplam kutu sayısı 40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve kutu sayıları arasındaki ilişkiyi yazma
a+b=3ca + b = 3c
A, B ve C kutularının sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olsun. Soruda A ve B kutularının toplam sayısının, C kutularının sayısının 3 katı olduğu belirtilmiştir.
2
Toplam çikolata sayısı denklemini kurma ve birinci denklemi yerine yazma
11a+14b=36011a + 14b = 360
Kutulardaki toplam çikolata sayısı: 12a+18b+30c=72012a + 18b + 30c = 720 olarak verilir. İlk denklemden 3c=a+b3c = a + b yazarak 30c=10(a+b)30c = 10(a + b) elde edilir. Bu ifadeyi yerine yazarsak: 12a+18b+10(a+b)=720⇒22a+28b=72012a + 18b + 10(a + b) = 720 \Rightarrow 22a + 28b = 720 elde edilir. Her iki tarafı da 2 ile sadeleştirdiğimizde denklem 11a+14b=36011a + 14b = 360 halini alır.
3
Pozitif tam sayı çözüm kümelerini bulma
(a,b)=(20,10)(a, b) = (20, 10) veya (a,b)=(6,21)(a, b) = (6, 21)
11a+14b=36011a + 14b = 360 Diophantine denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümlerini bulmak için mod 11 aritmetiği kullanılabilir: 14b≡360(mod11)⇒3b≡8(mod11)⇒b≡10(mod11)14b \equiv 360 \pmod{11} \Rightarrow 3b \equiv 8 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10 \pmod{11} elde edilir. Buradan b=10b = 10 için a=20a = 20, b=21b = 21 için a=6a = 6 bulunur. Daha büyük bb değerleri için aa negatif olacağından başka pozitif tam sayı çözüm yoktur.
4
Eşitsizlik koşulunu uygulama ve toplam kutu sayısını hesaplama
a+b+c=40a + b + c = 40
A kutularındaki çikolata sayısı (12a12a), B kutularındaki çikolata sayısından (18b18b) fazla olmalıdır: 12a>18b⇒2a>3b12a > 18b \Rightarrow 2a > 3b. Çözümler test edildiğinde; (20,10)(20, 10) için 2(20)>3(10)⇒40>302(20) > 3(10) \Rightarrow 40 > 30 (Sağlar). (6,21)(6, 21) için 2(6)>3(21)⇒12>632(6) > 3(21) \Rightarrow 12 > 63 (Sağlamaz). Dolayısıyla a=20a = 20, b=10b = 10 ve c=(a+b)/3=10c = (a+b)/3 = 10 bulunur. Toplam kutu sayısı 20+10+10=4020 + 10 + 10 = 40 olur.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve tam sayı kısıtlı doğrusal denklem sistemlerini çözme.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru