Bir kırtasiyeci, dükkânında satmak üzere A ve B marka kalem kutularından sipariş verecekti… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir kırtasiyeci, dükkânında satmak üzere A ve B marka kalem kutularından sipariş verecektir. Kırtasiyecinin sipariş planlaması ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sipariş edilecek A marka kutu sayısı $x$ , B marka kutu sayısı $y$ olmak üzere, $x$ ve $y$ birer pozitif tam sayıdır.
* B marka kutu sayısı, A marka kutu sayısından fazla olacaktır.
* Sipariş edilecek toplam kutu sayısı en az 6 olacaktır.
* Her bir A marka kutu için 10 TL, her bir B marka kutu için 20 TL ödeyecek olan kırtasiyecinin bu sipariş için ayırdığı toplam bütçe en fazla 120 TL'dir.

Buna göre, kırtasiyecinin bu koşullara uygun verebileceği kaç farklı sipariş seçeneği vardır?

Cevap: 4 adet

Cevap

Kırtasiyecinin bu koşullara uygun verebileceği 4 farklı sipariş seçeneği vardır.

Verilen kısıtlardan elde edilen

y > x

x + y \ge 6

x + 2y \le 12

eşitsizlik sistemini sağlayan pozitif tam sayı ikilileri

(1, 5)

(2, 4)

(2, 5)

(3, 4)

olmak üzere toplam 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

Kısıtları belirlemek ve sadeleştirmek

y > x

x + y \ge 6

x + 2y \le 12

eşitsizlikleri elde edilir. Burada

x

y

pozitif tam sayılardır.

Soruda verilen sözel koşulları matematiksel eşitsizlik sistemine çevirmek için.

x = 1

durumunu incelemek

1 + y \ge 6 \Rightarrow y \ge 5

1 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 11 \Rightarrow y \le 5

(çünkü

y

tam sayıdır). Bu iki kısıt birleştirildiğinde

y = 5

olur.

y > x \Rightarrow 5 > 1

şartı sağlandığı için

(1, 5)

geçerli bir ikilidir.

x

değişkenine en küçük pozitif tam sayı değerini vererek çözümleri adım adım bulmak için.

x = 2

durumunu incelemek

2 + y \ge 6 \Rightarrow y \ge 4

2 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 10 \Rightarrow y \le 5

elde edilir. Buradan

y \in \{4, 5\}

bulunur. Her iki değer de

y > x \Rightarrow y > 2

şartını sağladığı için

(2, 4)

(2, 5)

geçerli ikililerdir.

x

değişkenini bir artırarak diğer olası çözümleri taramak için.

x = 3

durumunu incelemek

3 + y \ge 6 \Rightarrow y \ge 3

3 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 9 \Rightarrow y \le 4

elde edilir. Buradan

y \in \{3, 4\}

bulunur. Ancak

y > x \Rightarrow y > 3

şartından dolayı

y = 3

alınamaz. Sadece

(3, 4)

geçerli bir ikilidir.

x

değişkeninin bir sonraki tam sayı değerini analiz etmek için.

x \ge 4

sınırını analiz etmek

x = 4

için

4 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 8 \Rightarrow y \le 4

olur. Ancak

y > x \Rightarrow y > 4

koşuluyla bu durum çelişir.

x > 4

değerleri için de benzer şekilde çelişki oluşur, dolayısıyla başka çözüm yoktur.

Çözüm kümesinin sınırlandığını ve başka pozitif tam sayı ikilisi olmadığını göstermek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin pozitif tam sayı çözüm kümelerinin bulunması

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik sistemini oluşturan doğruları analitik düzlemde çizerek elde edilen kapalı bölge sınırları ve içerisindeki tam sayı koordinatlı (latis) noktaları grafik üzerinde tek tek sayarak da sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru