Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Bir şehirdeki anlık sıcaklık değeri TT santigrat derece bir tam sayıdır. Bu sıcaklık değerinin 5∘C5^\circ\text{C} ve −3∘C-3^\circ\text{C} değerlerine olan uzaklıklarının çarpımı 9∘C9^\circ\text{C}'ye eşittir.

Buna göre, bu şehrin sıcaklığının alabileceği farklı TT tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 2Cevap
  4. D
    -2
  5. E
    0

Cevap

Sıcaklığın alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 2'dir.
Sıcaklığın alabileceği tam sayı değerleri 6 ve -4 olup, bu iki değerin toplamı 2'dir. İkinci durumdan gelen irrasyonel kökler tam sayı olmadığından çözüme dahil edilmez.

Adım Adım Çözüm

1
Sıcaklık değeri TT için verilen uzaklık ifadesini mutlak değerli denklem olarak yazın.
∣T−5∣⋅∣T−(−3)∣=9  ⟹  ∣(T−5)(T+3)∣=9|T - 5| \cdot |T - (-3)| = 9 \implies |(T - 5)(T + 3)| = 9
Bir xx sayısının yy sayısına olan uzaklığı ∣x−y∣|x - y| mutlak değer ifadesiyle temsil edilir.
2
Mutlak değer tanımını kullanarak denklemi iki farklı duruma ayırın.
1. Durum: (T−5)(T+3)=9(T - 5)(T + 3) = 9 veya 2. Durum: (T−5)(T+3)=−9(T - 5)(T + 3) = -9
∣A∣=9|A| = 9 ise A=9A = 9 veya A=−9A = -9 olmalıdır.
3
1. Durumdaki ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve köklerini bulun.
T2−2T−15=9  ⟹  T2−2T−24=0  ⟹  (T−6)(T+4)=0  ⟹  T=6T^2 - 2T - 15 = 9 \implies T^2 - 2T - 24 = 0 \implies (T - 6)(T + 4) = 0 \implies T = 6 veya T=−4T = -4.
Denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla elde edilen 66 ve −4-4 değerleri birer tam sayıdır ve koşulu sağlar.
4
2. Durumdaki ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve köklerini kontrol edin.
T2−2T−15=−9  ⟹  T2−2T−6=0T^2 - 2T - 15 = -9 \implies T^2 - 2T - 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı Δ=(−2)2−4(1)(−6)=28>0\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 28 > 0 olup kökleri T=1±7T = 1 \pm \sqrt{7}'dir.
Bu kökler irrasyonel sayılardır ve tam sayı değildir. Soruda TT'nin tam sayı olduğu belirtildiğinden bu kökler çözüm kümesine dahil edilmez.
5
Elde edilen tam sayı TT değerlerini toplayın.
6+(−4)=26 + (-4) = 2
Sıcaklığın alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümü ve sayı kümelerinin sınırlandırılması

Alternatif Yöntem

Denklemi ∣(T−5)(T+3)∣=9  ⟹  ∣T2−2T−15∣=9|(T - 5)(T + 3)| = 9 \implies |T^2 - 2T - 15| = 9 şeklinde tek bir mutlak değer altında birleştirerek T2−2T−15=9T^2 - 2T - 15 = 9 veya T2−2T−15=−9T^2 - 2T - 15 = -9 ikinci dereceden denklemlerini ayrı ayrı çözebiliriz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru