Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir teknoloji mağazasında satılan A, B ve C marka akıllı saatlerin birer adetlerinin fiyatları sırasıyla 33, 44 ve 55 sayıları ile doğru orantılıdır.

Bu mağazadan alışveriş yapan bir müşteri;
* A marka saatlerden en az 1 tane,
* B marka saatlerden en az 2 tane,
* C marka saatlerden en az 1 tane

olmak üzere toplamda 2020 adetten az saat satın almıştır.

Müşterinin satın aldığı A ve B marka saatlerin tamamı için ödediği toplam tutar, C marka saatlerin tamamı için ödediği toplam tutara eşittir.

Buna göre, bu müşterinin satın aldığı B marka saat sayısı en fazla kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. C
    7
  4. 8Cevap
  5. E
    9

Cevap

Müşterinin satın aldığı B marka saat sayısı en fazla 8 olabilir.
Satın alınan A, B ve C saatlerinin adetleri sırasıyla aa, bb, cc ve birim fiyatları sırasıyla 33, 44, 55 ile orantılıdır. Toplam tutarların eşitliğinden 3a+4b=5c3a + 4b = 5c yazılır. c=3a+4b5c = \frac{3a + 4b}{5} tam sayı olmalıdır. Toplam saat sayısı a+b+c<20a + b + c < 20 olduğundan, bu ifadede cc yerine yazılırsa 8a+9b<1008a + 9b < 100 eşitsizliği ve 8a+9b8a + 9b'nin 5'in katı olması gerekliliği bulunur. En büyük bb değerini bulmak için yapılan incelemede a=1a = 1 ve b=8b = 8 için 8(1)+9(8)=80<1008(1) + 9(8) = 80 < 100 eşitsizliği sağlanır ve bu durumda c=7c = 7 olur. Toplam saat sayısı 1+8+7=16<201 + 8 + 7 = 16 < 20 şartına uygundur. Dolayısıyla B marka saat sayısı en fazla 8 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
A, B ve C marka saatlerin birim fiyatlarını belirleyip adet değişkenlerini tanımlama
Saatlerin birim fiyatları sırasıyla 3k3k, 4k4k ve 5k5k (k>0k > 0) olsun. Satın alınan adetler sırasıyla aa, bb ve cc olsun (a≥1a \ge 1, b≥2b \ge 2, c≥1c \ge 1 ve a+b+c<20a+b+c < 20).
Soruda verilen orantı ve adet kısıtlamalarını matematiksel modele dökmek için.
2
Ödenen toplam tutarların eşitliği bilgisini kullanarak denklem kurma
3k⋅a+4k⋅b=5k⋅c  ⟹  3a+4b=5c3k \cdot a + 4k \cdot b = 5k \cdot c \implies 3a + 4b = 5c denklemi elde edilir.
A ve B marka saatlerin toplam tutarının C marka saatlerin toplam tutarına eşit olduğunu denklem olarak ifade etmek için.
3
Toplam saat sayısı kısıtlamasını A ve B marka saatlerin adetleri cinsinden yazma
c=3a+4b5c = \frac{3a + 4b}{5} ifadesini toplam saat sayısı eşitsizliğinde yerine yazarsak: a+b+3a+4b5<20  ⟹  8a+9b5<20  ⟹  8a+9b<100a + b + \frac{3a + 4b}{5} < 20 \implies \frac{8a + 9b}{5} < 20 \implies 8a + 9b < 100 elde edilir.
Toplam saat sayısının 20'den az olması şartını iki değişkene indirgemek için.
4
cc değerinin tam sayı olması için gereken bölünebilme şartını belirleme
3a+4b3a + 4b ifadesi 5'in katı olmalıdır. Bu durum 8a+9b8a + 9b ifadesinin de 5'in katı olmasına denktir.
Satın alınan saat adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiği için.
5
8a+9b<1008a + 9b < 100 ve 8a+9b=5m8a + 9b = 5m şartlarını sağlayan en büyük bb değerini bulmak için analiz yapma
a=1a = 1 için b≡3(mod5)  ⟹  b=8b \equiv 3 \pmod 5 \implies b = 8 alındığında 8(1)+9(8)=80<1008(1) + 9(8) = 80 < 100 (sağlar) ve c=7c = 7 olur. Toplam saat: 1+8+7=16<201 + 8 + 7 = 16 < 20. b=9b = 9 için en küçük toplam saat sayısı a=3,c=9a=3, c=9 ile 21 olur ve 20'den az olma şartını ihlal eder.
Tüm kısıtlamalar altında B marka saat sayısını maksimum yapan tam sayı değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen kısıtlamalara uygun değer atama ve iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin tam sayı çözümlerini bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru