Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Bir barajdaki su seviyesinin kontrol altında tutulması amacıyla kurulan otomatik bir sistemde; anlık su seviyesi xx metre olmak üzere, su seviyesinin hedeflenen 5050 metreye olan uzaklığının 33 katı ile kritik sınır olan 3838 metreye olan uzaklığının toplamı tam olarak 2424 metre olduğunda tahliye kapakları devreye girmektedir.

Buna göre, tahliye kapaklarının devreye girdiği su seviyesi değerlerinin toplamı kaç metredir?

  1. A
    85
  2. B
    94
  3. C
    121
  4. 97Cevap
  5. E
    138

Cevap

Tahliye kapaklarının devreye girdiği su seviyesi değerlerinin toplamı 97 metredir.
Denklemin çözümünde mutlak değerli ifadelerin kritik noktaları olan 38 ve 50 değerlerine göre yapılan aralık incelemesinde, geçerli kökler 44 ve 53 olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan 97 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen sözel durum matematiksel denkleme dönüştürülür.
3∣x−50∣+∣x−38∣=243|x - 50| + |x - 38| = 24 denklemi elde edilir.
Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir. Hedeflenen 50 metreye uzaklığın 3 katı 3∣x−50∣3|x-50| ve kritik 38 metreye uzaklık ∣x−38∣|x-38| biçimindedir.
2
Kritik noktalar olan x=38x = 38 ve x=50x = 50 değerlerine göre reel sayılar kümesi üç farklı aralıkta incelenir ve birinci aralık olarak x≥50x \geq 50 durumu çözülür.
x≥50x \geq 50 için:
3(x−50)+(x−38)=24⇒4x−188=24⇒4x=212⇒x=533(x - 50) + (x - 38) = 24 \Rightarrow 4x - 188 = 24 \Rightarrow 4x = 212 \Rightarrow x = 53 bulunur.
x≥50x \geq 50 olduğunda her iki mutlak değerin içi de pozitif veya sıfır olduğundan ifadeler dışarıya aynen çıkar. Bulunan 5353 değeri x≥50x \geq 50 koşulunu sağladığından geçerli bir köktür.
3
İkinci aralık olan 38≤x<5038 \leq x < 50 durumu çözülür.
38≤x<5038 \leq x < 50 için:
3(50−x)+(x−38)=24⇒150−3x+x−38=24⇒112−2x=24⇒2x=88⇒x=443(50 - x) + (x - 38) = 24 \Rightarrow 150 - 3x + x - 38 = 24 \Rightarrow 112 - 2x = 24 \Rightarrow 2x = 88 \Rightarrow x = 44 bulunur.
Bu aralıkta ∣x−50∣|x - 50| ifadesinin içi negatif olduğundan eksi ile çarpılarak 50−x50 - x olarak çıkar; ∣x−38∣|x - 38| ifadesinin içi pozitif veya sıfır olduğundan aynen çıkar. Bulunan 4444 değeri 38≤x<5038 \leq x < 50 koşulunu sağladığından geçerli bir köktür.
4
Üçüncü aralık olan x<38x < 38 durumu çözülür.
x<38x < 38 için:
3(50−x)+(38−x)=24⇒150−3x+38−x=24⇒188−4x=24⇒4x=164⇒x=413(50 - x) + (38 - x) = 24 \Rightarrow 150 - 3x + 38 - x = 24 \Rightarrow 188 - 4x = 24 \Rightarrow 4x = 164 \Rightarrow x = 41 bulunur.
Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de negatif olduğundan eksi ile çarpılarak çıkarılır. Ancak bulunan 4141 değeri x<38x < 38 koşulunu sağlamadığı (41>3841 > 38 olduğu) için kök olarak kabul edilemez.
5
Bulunan geçerli kökler toplanır.
53+44=9753 + 44 = 97 elde edilir.
Denklemi sağlayan geçerli su seviyesi değerleri 5353 ve 4444 metredir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması ve bulunan köklerin incelenen aralık koşulunu sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru