x, y ve z sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x \cdot y \in \mathbb{Z} y \cdot z \… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$x$ , $y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x \cdot y \in \mathbb{Z}

y \cdot z \in \mathbb{Z}

x \cdot z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. $y$ bir irrasyonel sayıdır.
II. $x^2 \cdot z^2$ bir rasyonel sayıdır.
III. $x + z$ bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız ICevap
B
Yalnız II
C
I ve III
D
II ve III
E
I, II ve III

Cevap

Yalnız I

Yalnız I ifadesi doğrudur çünkü y sayısı rasyonel kabul edildiğinde, sıfırdan farklı olmasının da etkisiyle x ve z sayılarının rasyonel olması kaçınılmazdır. Bu durumda rasyonel iki sayının çarpımı olan xz de rasyonel olmak zorunda kalır ki bu durum xz'nin irrasyonel sayı olması koşuluyla çelişir. Dolayısıyla y sayısı kesinlikle irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

y sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumunu çelişki yöntemiyle incelemek.

y

sayısının rasyonel olduğunu varsayalım. Bu durumda

y = \frac{p}{q}

(

p, q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}

) yazılabilir.

x \cdot y = a \in \mathbb{Z}

olduğundan

x \cdot \frac{p}{q} = a \implies x = \frac{a \cdot q}{p} \in \mathbb{Q}

olur. Benzer şekilde,

y \cdot z = b \in \mathbb{Z}

olduğundan

z \cdot \frac{p}{q} = b \implies z = \frac{b \cdot q}{p} \in \mathbb{Q}

olur. İki rasyonel sayının çarpımı da rasyonel olacağından

x \cdot z \in \mathbb{Q}

olmalıdır. Ancak soruda

x \cdot z

çarpımının irrasyonel olduğu verilmiştir. Bu çelişki nedeniyle

y

rasyonel olamaz, dolayısıyla

y

bir irrasyonel sayıdır. I. önerme her zaman doğrudur.

Birinci önermenin doğruluğunu kesinleştirmek.

x^2 * z^2 ifadesinin rasyonel olmasının zorunlu olup olmadığını karşı örnekle analiz etmek.

y = 2^{1/8}

seçelim (irrasyoneldir).

x = 2^{7/8}

z = 2^{7/8}

olsun. Bu durumda

x \cdot y = 2^{7/8} \cdot 2^{1/8} = 2 \in \mathbb{Z}

y \cdot z = 2^{1/8} \cdot 2^{7/8} = 2 \in \mathbb{Z}

koşulları sağlanır.

x \cdot z = 2^{7/8} \cdot 2^{7/8} = 2^{14/8} = 2^{7/4}

irrasyoneldir. Ancak

x^2 \cdot z^2 = (x \cdot z)^2 = (2^{7/4})^2 = 2^{7/2} = 8\sqrt{2}

sayısı da irrasyoneldir. Dolayısıyla II. önerme her zaman doğru değildir.

İkinci önermenin her zaman sağlanmadığını bir karşı örnekle ispatlamak.

x + z ifadesinin irrasyonel olmasının zorunlu olup olmadığını karşı örnekle analiz etmek.

y = 2^{1/4}

seçelim (irrasyoneldir).

x = 2^{3/4}

z = -2^{3/4}

olsun. Bu durumda

x \cdot y = 2^{3/4} \cdot 2^{1/4} = 2 \in \mathbb{Z}

y \cdot z = 2^{1/4} \cdot (-2^{3/4}) = -2 \in \mathbb{Z}

koşulları sağlanır.

x \cdot z = 2^{3/4} \cdot (-2^{3/4}) = -2^{6/4} = -2\sqrt{2}

irrasyoneldir. Ancak

x + z = 2^{3/4} + (-2^{3/4}) = 0 \in \mathbb{Q}

(rasyonel) olur. Dolayısıyla III. önerme her zaman doğru değildir.

Üçüncü önermenin her zaman sağlanmadığını toplamın sıfır olabildiği durum üzerinden göstermek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki ilişkiler, rasyonel ve irrasyonel sayıların kapalılık özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru