Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Bir doğrusal metro hattı üzerindeki A ve B istasyonları sırasıyla koordinat doğrusunun 00 ve 88 noktalarında yer almaktadır. Bu hat üzerinde konumlandırılan bir veri aktarım noktasının koordinatı xx gerçel sayısıdır.

Veri aktarım noktasının A ve B istasyonlarına olan uzaklıklarının kareleri farkının mutlak değeri, bu noktanın her iki istasyona olan uzaklıkları toplamı ile çarpıldığında sinyal kalite katsayısı olan 800800 elde edilmektedir.

Buna göre, veri aktarım noktasının A istasyonuna olan uzaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç birimdir?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    16

Cevap

Veri aktarım noktasının A istasyonuna olan uzaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı 10 birimdir.
Veri aktarım noktasının koordinatları x=9x = 9 ve x=−1x = -1 olarak bulunur. A noktası koordinat sisteminde sıfırı temsil ettiğinden, bu noktanın A'ya olan uzaklıkları ∣9∣=9|9| = 9 ve ∣−1∣=1|-1| = 1 birimdir. Bu değerlerin toplamı 9+1=109 + 1 = 10 birim yapmaktadır. Bu nedenle 10 birim değerini veren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen koşulları matematiksel denkleme dökün.
∣∣x∣2−∣x−8∣2∣⋅(∣x∣+∣x−8∣)=800\big| |x|^2 - |x-8|^2 \big| \cdot (|x| + |x-8|) = 800
A noktası 0 ve B noktası 8 olduğundan, x noktasının bu noktalara olan uzaklıkları sırasıyla ∣x∣|x| ve ∣x−8∣|x-8| birimdir.
2
Uzaklıkların kareleri farkı ifadesini sadeleştirin.
∣x∣2−∣x−8∣2=x2−(x2−16x+64)=16x−64|x|^2 - |x-8|^2 = x^2 - (x^2 - 16x + 64) = 16x - 64 olduğundan denklem: 16∣x−4∣⋅(∣x∣+∣x−8∣)=800  ⟹  ∣x−4∣⋅(∣x∣+∣x−8∣)=5016|x-4| \cdot (|x| + |x-8|) = 800 \implies |x-4| \cdot (|x| + |x-8|) = 50 haline gelir.
Gerçel sayıların mutlak değerlerinin karesi, kendilerinin karesine eşittir (∣a∣2=a2|a|^2 = a^2).
3
Oluşan denklemi kritik noktalar olan x=0x=0, x=4x=4 ve x=8x=8 değerlerine göre aralıklarda inceleyin.
x≥8x \geq 8 için (x−4)(2x−8)=50  ⟹  2(x−4)2=50  ⟹  (x−4)2=25  ⟹  x−4=5  ⟹  x=9(x-4)(2x-8) = 50 \implies 2(x-4)^2 = 50 \implies (x-4)^2 = 25 \implies x-4 = 5 \implies x = 9 bulunur.
x<0x < 0 için (4−x)(8−2x)=50  ⟹  2(4−x)2=50  ⟹  (4−x)2=25  ⟹  4−x=5  ⟹  x=−1(4-x)(8-2x) = 50 \implies 2(4-x)^2 = 50 \implies (4-x)^2 = 25 \implies 4-x = 5 \implies x = -1 bulunur.
0≤x<80 \leq x < 8 aralığındaki alt bölgelerde denklemin gerçel kökü yoktur.
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri her aralık için ayrı ayrı belirlenerek doğrusal denklemler çözülür.
4
Bulunan xx koordinatlarının A noktasına (00 noktasına) olan uzaklıklarını hesaplayıp toplayın.
∣9∣=9|9| = 9 ve ∣−1∣=1|-1| = 1 birimdir. Toplam uzaklık: 9+1=109 + 1 = 10 birimdir.
Uzaklık negatif olamayacağından koordinatların mutlak değerleri alınarak toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalara göre aralık analizi yapılarak çözülmesi ve mutlak değerin uzaklık anlamının kullanılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru