Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasamak Analizi ve Çözümleme

İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için, bu sayıların onlar basamağındaki rakamlar kendi aralarında yer değiştirildiğinde elde edilen iki basamaklı sayıların çarpımı, ilk durumdaki sayıların çarpımından 360 fazladır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı (AB,CD)(AB, CD) sıralı sayı çifti vardır?

  1. A
    17
  2. B
    24
  3. C
    28
  4. 34Cevap
  5. E
    36

Cevap

Otuz dört
Denklemin çözümünden elde edilen (C−A)(D−B)=36(C - A)(D - B) = 36 eşitliğinde, rakam kısıtlamalarına uyan tüm pozitif ve negatif çarpan çiftleri (6×66 \times 6, 4×94 \times 9, −6×−6-6 \times -6 ve −4×−9-4 \times -9) değerlendirildiğinde toplamda 34 farklı (AB,CD)(AB, CD) sıralı çifti oluşmaktadır. Bu nedenle otuz dört cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyip çarpım denklemini kurmak.
AB=10A+BAB = 10A + B ve CD=10C+DCD = 10C + D sayıları tanımlanır. Onlar basamağı yer değiştirildiğinde yeni sayılar CB=10C+BCB = 10C + B ve AD=10A+DAD = 10A + D olur.
Çözümleme yaparak basamaklar arasındaki ilişkileri cebirsel olarak ifade etmek gerekir.
2
Yeni çarpım ile eski çarpım arasındaki farkı eşitlemek.
(10C+B)(10A+D)−(10A+B)(10C+D)=360(10C + B)(10A + D) - (10A + B)(10C + D) = 360 denklemi elde edilir.
Soruda verilen artış miktarı cebirsel olarak bu farka eşittir.
3
Denklemi dağıtarak sadeleştirmek.
(100AC+10CD+10AB+BD)−(100AC+10AD+10BC+BD)=360  ⟹  10(CD+AB−AD−BC)=360  ⟹  10[C(D−B)−A(D−B)]=360  ⟹  (C−A)(D−B)=36(100AC + 10CD + 10AB + BD) - (100AC + 10AD + 10BC + BD) = 360 \implies 10(CD + AB - AD - BC) = 360 \implies 10[C(D - B) - A(D - B)] = 360 \implies (C - A)(D - B) = 36 elde edilir.
Ortak terimler sadeleştirilerek rakamlar arasındaki ilişki çarpanlara ayrılmış biçime getirilir.
4
Rakam kısıtlamalarını belirlemek.
ABAB ve CDCD iki basamaklı sayılar olduğundan A,C∈{1,2,…,9}A, C \in \{1, 2, \dots, 9\} olmalıdır (onlar basamağı sıfır olamaz). B,D∈{0,1,…,9}B, D \in \{0, 1, \dots, 9\} olabilir. Bu durumda C−AC - A farkı en fazla 8, en az -8 olabilir. D−BD - B farkı ise en fazla 9, en az -9 olabilir.
Basamak analizinde en büyük basamağın sıfır olamayacağı kuralı ve rakamların tek haneli doğal sayılar olması kuralı geçerlidir.
5
36'yı veren ve kısıtlamalara uyan çarpan çiftlerini bulup durumları saymak.
x⋅y=36x \cdot y = 36 denkleminde ∣x∣≤8|x| \le 8 ve ∣y∣≤9|y| \le 9 şartını sağlayan tam sayı çiftleri şunlardır:
- C−A=6C - A = 6 ve D−B=6D - B = 6 için: (A,C)∈{(1,7),(2,8),(3,9)}(A,C) \in \{(1,7), (2,8), (3,9)\} (3 durum) ve (B,D)∈{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)}(B,D) \in \{(0,6), (1,7), (2,8), (3,9)\} (4 durum) olup 3×4=123 \times 4 = 12 çift vardır.
- C−A=4C - A = 4 ve D−B=9D - B = 9 için: (A,C)∈{(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(5,9)}(A,C) \in \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8), (5,9)\} (5 durum) ve (B,D)∈{(0,9)}(B,D) \in \{(0,9)\} (1 durum) olup 5×1=55 \times 1 = 5 çift vardır.
- C−A=−6C - A = -6 ve D−B=−6D - B = -6 için: (A,C)∈{(7,1),(8,2),(9,3)}(A,C) \in \{(7,1), (8,2), (9,3)\} (3 durum) ve (B,D)∈{(6,0),(7,1),(8,2),(9,3)}(B,D) \in \{(6,0), (7,1), (8,2), (9,3)\} (4 durum) olup 3×4=123 \times 4 = 12 çift vardır.
- C−A=−4C - A = -4 ve D−B=−9D - B = -9 için: (A,C)∈{(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)}(A,C) \in \{(5,1), (6,2), (7,3), (8,4), (9,5)\} (5 durum) ve (B,D)∈{(9,0)}(B,D) \in \{(9,0)\} (1 durum) olup 5×1=55 \times 1 = 5 çift vardır.
Çarpımları 36 yapan tüm olası basamak farkı kombinasyonları ayrı ayrı incelenmelidir.
6
Tüm durumları toplamak.
Toplam çift sayısı: 12+5+12+5=3412 + 5 + 12 + 5 = 34 olarak bulunur.
Birbirinden bağımsız tüm geçerli durumların toplamı bize genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve çarpım farklarının rakam sınırlandırmaları altında incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru