Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen a,ba, b ve cc sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa bir tam sayı, bb ise tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
* aa sayısının bb sayısına olan uzaklığı 2,42,4 birimdir.
* bb sayısının cc sayısına olan uzaklığı 1,61,6 birimdir.

cc sayısı bir doğal sayı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: -4

Cevap

En küçük aa tam sayısı −4-4 olarak bulunur.
Sayı doğrusundaki uzaklık ilişkileri yazılıp cc sayısı aa cinsinden ifade edildiğinde, cc'nin bir doğal sayı (dolayısıyla tam sayı) olabilmesi için rasyonel kısımların birbirini tam sayıya tamamlaması gerekir. Buradan c=a+4c = a + 4 veya c=a−4c = a - 4 elde edilir. Doğal sayıların en küçük elemanı 00 olduğundan, c≥0c \geq 0 eşitsizliğinden a≥−4a \geq -4 bulunur. Dolayısıyla aa'nın en küçük değeri −4-4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık ifadelerini mutlak değer veya denklem şeklinde yazma.
∣a−b∣=2,4  ⟹  b=a±2,4|a - b| = 2,4 \implies b = a \pm 2,4
∣b−c∣=1,6  ⟹  c=b±1,6|b - c| = 1,6 \implies c = b \pm 1,6
Sayı doğrusundaki iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değerine eşittir.
2
bb değerini cc eşitliğinde yerine yazarak cc ile aa arasındaki ilişkileri bulma.
c=(a±2,4)±1,6c = (a \pm 2,4) \pm 1,6
Buradan dört olası durum elde edilir:
1. c=a+2,4+1,6=a+4c = a + 2,4 + 1,6 = a + 4
2. c=a+2,4−1,6=a+0,8c = a + 2,4 - 1,6 = a + 0,8
3. c=a−2,4+1,6=a−0,8c = a - 2,4 + 1,6 = a - 0,8
4. c=a−2,4−1,6=a−4c = a - 2,4 - 1,6 = a - 4
cc sayısını doğrudan aa değişkenine bağlı olarak inceleyebilmek için.
3
Sayı kümelerinin özelliklerini kullanarak geçerli durumları belirleme.
aa bir tam sayı ve cc bir doğal sayı (aynı zamanda bir tam sayı) olduğundan, cc bir tam sayı olmalıdır. a±0,8a \pm 0,8 ifadeleri tam sayı olamayacağından 2. ve 3. durumlar elenir. Geçerli durumlar c=a+4c = a + 4 veya c=a−4c = a - 4 olur.
Tam sayılar ile tam sayı olmayan rasyonel sayıların toplamının tam sayı olamayacağı gerçeğini uygulamak.
4
c∈Nc \in \mathbb{N} (doğal sayı) koşulunu uygulayarak en küçük aa değerini hesaplama.
c≥0c \geq 0 olmalıdır.
c=a+4≥0  ⟹  a≥−4c = a + 4 \ge 0 \implies a \ge -4
c=a−4≥0  ⟹  a≥4c = a - 4 \ge 0 \implies a \ge 4
Bu iki aralıktan elde edilen en küçük aa tam sayısı −4-4'tür.
Doğal sayıların en küçük elemanının 00 olduğu bilgisini kullanarak aa üzerindeki alt sınırı bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin eleman özelliklerinin (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar) ve sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkilerinin kavranması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru