Examkin

Soru

Zorluk: ZorAralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim

Bir kimya laboratuvarında bulunan iki hassas ölçüm cihazından birincisi AA sıcaklık aralığında, ikincisi ise BB sıcaklık aralığında güvenli bir şekilde çalışabilmektedir.

Bu cihazların güvenli çalışma aralıkları sırasıyla,
A={x∈R:∣x−2∣≤5}A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 2| \le 5\}
B={x∈R:−1<2x−3≤9}B = \{x \in \mathbb{R} : -1 < 2x - 3 \le 9\}
kümeleri ile belirlenmiştir.

Bu laboratuvardaki ortam sıcaklığı [−4,8][-4, 8] aralığında değişmektedir.

Buna göre, ortam sıcaklığının bu aralıkta olduğu ve iki cihazın aynı anda güvenli çalışamadığı sıcaklık değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [−4,1)∪[6,8][-4, 1) \cup [6, 8]
  2. B
    [−4,1]∪(5,8][-4, 1] \cup (5, 8]
  3. C
    [−4,1]∪[6,8][-4, 1] \cup [6, 8]
  4. [−4,1]∪(6,8][-4, 1] \cup (6, 8]Cevap
  5. E
    [−4,1)∪(6,8][-4, 1) \cup (6, 8]

Cevap

[−4,1]∪(6,8][-4, 1] \cup (6, 8] aralığıdır.
Doğru cevap olan [−4,1]∪(6,8][-4, 1] \cup (6, 8] kümesi, ortam sıcaklığının sınır aralığı olan [−4,8][-4, 8] kümesinden, iki cihazın birlikte çalışabildiği ortak sıcaklık kümesi olan A∩B=(1,6]A \cap B = (1, 6] aralığının çıkarılmasıyla elde edilir. Bu işlemde 11 sayısı çıkarılan kümede yer almadığından fark kümesine dahildir (kapalı uç), 66 sayısı ise çıkarılan kümede yer aldığından fark kümesine dahil edilmez (açık uç).

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesini belirten ∣x−2∣≤5|x - 2| \le 5 mutlak değerli eşitsizliğini çözeriz.
−5≤x−2≤5  ⟹  −3≤x≤7-5 \le x - 2 \le 5 \implies -3 \le x \le 7 elde edilir. Buradan A=[−3,7]A = [-3, 7] aralığı bulunur.
Mutlak değerli eşitsizliklerin tanımı gereği, eşitsizlik −5≤x−2≤5-5 \le x - 2 \le 5 şeklinde yazılır ve her tarafa 2 eklenir.
2
BB kümesini belirten −1<2x−3≤9-1 < 2x - 3 \le 9 eşitsizliğini ��özeriz.
2<2x≤12  ⟹  1<x≤62 < 2x \le 12 \implies 1 < x \le 6 elde edilir. Buradan B=(1,6]B = (1, 6] aralığı bulunur.
Eşitsizliğin her tarafına 3 eklenerek 2<2x≤122 < 2x \le 12 elde edilir, ardından her taraf 2'ye bölünür.
3
Her iki cihazın da aynı anda güvenli çalışabildiği sıcaklık kümesini bulmak için AA ve BB kümelerinin kesişimini alırız.
A∩B=[−3,7]∩(1,6]=(1,6]A \cap B = [-3, 7] \cap (1, 6] = (1, 6] aralığı elde edilir.
Her iki kümede de bulunan ortak gerçek sayılar tespit edilir.
4
Ortam sıcaklığı olan [−4,8][-4, 8] aralığından, iki cihazın aynı anda çalıştığı (1,6](1, 6] aralığını çıkarırız.
[−4,8]∖(1,6]=[−4,1]∪(6,8][-4, 8] \setminus (1, 6] = [-4, 1] \cup (6, 8] kümesi elde edilir.
İki cihazın aynı anda çalışamadığı durum, birlikte çalıştıkları aralığın dışındaki sıcaklıklardır. Sınır noktalarından 11 sayısı çıkarılmadığı için kapalı, 66 sayısı ise çıkarıldığı için açık aralık olarak kalır.

Anahtar Kavram

Aralık Kavramı, Eşitsizlik Çözümleri ve Sayı Doğrusunda Küme İşlemleri

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde doğrudan A ve B kümeleri çizilerek ortak bölge görselleştirilebilir. [−4,8][-4, 8] aralığı çizildikten sonra, bu aralık üzerinden (1,6](1, 6] kısmı kesilip atılarak kalan bölgelerin sınır değerleri görsel olarak kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim

Bu konudan daha fazla soru