Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme

Bir pozitif tam sayının basamaklarındaki rakamların toplamı T(n)T(n) ile gösteriliyor.

AA ve BB üç basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
A+B=1000 A + B = 1000
T(A)+T(B)=28 T(A) + T(B) = 28
eşitliklerini sağlayan kaç farklı AA sayısı vardır?

Cevap: 720

Cevap

Koşulları sağlayan 720 farklı A sayısı vardır.
Üç basamaklı iki sayının toplamının 1000 olması ve rakamları toplamının 28 olması koşulu, toplama işlemindeki elde geçişlerinin incelenmesiyle çözülür. Birler basamağında c+f=10c+f=10 olup onlar basamağına 1 elde aktarılır. Onlar basamağında b+e=9b+e=9 olup yüzler basamağına 1 elde aktarılır. Yüzler basamağında ise a+d=9a+d=9 bulunur. A=abcA=abc sayısı için a∈{1,2,...,8}a \in \{1, 2, ..., 8\} (8 adet), b∈{0,1,...,9}b \in \{0, 1, ..., 9\} (10 adet) ve c∈{1,2,...,9}c \in \{1, 2, ..., 9\} (9 adet) olmak üzere bağımsız seçimlerin çarpımıyla 8×10×9=7208 \times 10 \times 9 = 720 farklı değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B üç basamaklı sayılarını basamaklarına ayırarak çözümleme ve rakamlar toplamı denklemlerini yazmak.
A=abcA = abc ve B=defB = def olsun. 100(a+d)+10(b+e)+(c+f)=1000100(a+d) + 10(b+e) + (c+f) = 1000 ve (a+d)+(b+e)+(c+f)=28(a+d) + (b+e) + (c+f) = 28 elde edilir.
Toplama işleminin ve rakamlar toplamının basamaklar düzeyindeki matematiksel ifadesini oluşturmak gerekir.
2
Toplama işleminde birler basamağından onlar basamağına geçen elde durumunu analiz etmek.
c+f=10c + f = 10 olmak zorundadır. c+f=0c + f = 0 durumu rakamlar toplamını 28 yapamaz.
Elde geçişi olmadan toplamın birler basamağının sıfır olması sadece c=f=0c=f=0 ile mümkündür ancak bu durum rakamlar toplamı şartını sağlamaz.
3
Onlar ve yüzler basamağındaki elde durumlarını belirlemek.
b+e=9b + e = 9 ve a+d=9a + d = 9 elde edilir.
Birler basamağından gelen 1 eldenin onlar basamağında da 1 elde oluşturup yüzler basamağına aktarması ve toplamın 1000 olmasını sağlaması gerekir.
4
A=abcA = abc sayısının her bir basamağındaki rakamların alabileceği farklı değer sayılarını belirlemek.
aa için 8 farklı değer (1'den 8'e kadar), bb için 10 farklı değer (0'dan 9'a kadar), cc için 9 farklı değer (1'den 9'a kadar) bulunur.
AA ve BB sayılarının üç basamaklı olma şartları (a≥1,d≥1a \ge 1, d \ge 1) ve basamak ilişkileri kullanılarak sınır değerler hesaplanır.
5
Bağımsız basamak seçimlerini çarparak toplam olasılık sayısını bulmak.
8×10×9=7208 \times 10 \times 9 = 720 farklı AA sayısı elde edilir.
Basamak seçimleri birbirinden bağımsız olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, basamak çözümleme ve toplama işleminde elde geçişlerinin rakamlar toplamı üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru