Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bir bilgisayar programı, sisteme girilen bir AA kümesinin elemanlarını ve alt kümelerini inceleyerek aşağıdaki kurallara göre yeni bir BB kümesi oluşturmaktadır:

* Bir xx nesnesi için, hem x∈Ax \in A hem de {x}∈A\{x\} \in A koşulu sağlanıyorsa xx nesnesi BB kümesinin bir elemanı olur.
* Bir yy nesnesi için, hem y∈Ay \in A hem de y⊂Ay \subset A koşulu sağlanıyorsa yy nesnesi BB kümesinin bir elemanı olur.

Sisteme
A={1,{1},{2},{1,2},{{2}},∅}A = \{ 1, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{\{2\}\}, \emptyset \}
kümesi girildiğinde programın oluşturduğu BB kümesinin özalt küme sayısı kaçtır?
  1. A
    15
  2. 31Cevap
  3. C
    63
  4. D
    127
  5. E
    7

Cevap

31
Özalt küme sayısı 31 olan seçenek doğrudur. Çünkü A kümesinden kurallara uygun olarak seçilen elemanlarla oluşturulan B kümesi {1,{1},{2},{{2}},∅}\{1, \{1\}, \{2\}, \{\{2\}\}, \emptyset\} şeklindedir. Bu kümenin eleman sayısı 5'tir ve özalt küme sayısı 25−1=312^5 - 1 = 31 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin tüm elemanlarını belirlemek.
A kümesinin elemanları: 11, {1}\{1\}, {2}\{2\}, {1,2}\{1, 2\}, {{2}}\{\{2\}\} ve ∅\emptyset'dir. Eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 olur.
Kuralları uygulamak için öncelikle kümenin eleman yapısını tam olarak analiz etmemiz gerekir.
2
Birinci kuralı sağlayan x elemanlarını belirlemek.
x=1x = 1 (çünkü 1∈A1 \in A ve {1}∈A\{1\} \in A) ve x={2}x = \{2\} (çünkü {2}∈A\{2\} \in A ve {{2}}∈A\{\{2\}\} \in A) elemanları bulunur. B kümesine 11 ve {2}\{2\} eklenir.
x∈Ax \in A ve {x}∈A\{x\} \in A koşulunu sağlayan elemanları tespit etmek.
3
İkinci kuralı sağlayan y elemanlarını belirlemek.
y={1}y = \{1\} (çünkü 1∈A1 \in A), y={{2}}y = \{\{2\}\} (çünkü {2}∈A\{2\} \in A) ve y=∅y = \emptyset (çünkü boş küme her kümenin alt kümesidir) elemanları bulunur. B kümesine {1}\{1\}, {{2}}\{\{2\}\} ve ∅\emptyset eklenir.
y∈Ay \in A ve y⊂Ay \subset A koşulunu sağlayan, yani hem eleman hem de alt küme olan elemanları bulmak.
4
B kümesinin eleman sayısını ve özalt küme sayısını hesaplamak.
B={1,{1},{2},{{2}},∅}B = \{1, \{1\}, \{2\}, \{\{2\}\}, \emptyset\} olup s(B)=5s(B) = 5'tir. Özalt küme sayısı 25−1=312^5 - 1 = 31 bulunur.
Elde edilen elemanları birleştirip özalt küme sayısı formülünü (2n−12^n-1) uygulamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme sembol ilişkisi, eleman sayısı ve özalt küme sayısı hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru