Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMerkezi Yayılım Ölçüleri

Aritmetik ortalaması ve standart sapması sıfırdan farklı olan bir veri grubuna, bu grubun aritmetik ortalamasına eşit olan yeni bir veri eklendiğinde veri grubunun standart sapması ilk duruma göre azalır.

Cevap: Cevap

Cevap

Aritmetik ortalamaya eşit bir verinin eklenmesi veri grubunun standart sapmasını azaltır.
İfade doğrudur çünkü gruba aritmetik ortalamayla aynı değerde bir eleman eklendiğinde ortalamadan sapma karelerinin toplamı (pay) değişmezken veri sayısı arttığından payda büyüyecek, bu da standart sapma değerinin azalmasına yol açacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart sapma formülünü göz önüne alalım.
s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
Standart sapmanın veri sayısı ve ortalamadan farklar ile ilişkisini analiz etmek amacıyla formülü kurarız.
2
Yeni veri grubunun aritmetik ortalamasını belirleyelim.
Yeni veri ortalamaya eşit (xn+1=xˉx_{n+1} = \bar{x}) olduğundan, yeni aritmetik ortalama yine xˉ\bar{x} olur.
Bir veri grubuna aritmetik ortalama değerine eşit bir veri eklenmesi, grubun genel ortalamasını değiştirmez.
3
Formüldeki pay ve payda değişimini inceleyelim.
Pay olan ∑i=1n(xi−xˉ)2\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 toplamı de��işmez çünkü yeni eklenen elemanın ortalamadan farkı (xn+1−xˉ)=0(x_{n+1} - \bar{x}) = 0 olup kareler toplamına etkisi sıfırdır. Payda ise veri sayısı arttığı için n−1n-1 yerine nn olur.
Yeni elemanla birlikte eleman sayısı 1 artmış, ancak sapma kareleri toplamına yeni bir katkı gelmemiştir.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak standart sapmanın değişimini belirleyelim.
syeni=∑i=1n(xi−xˉ)2ns_{yeni} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}} değeri, n>n−1>0n > n-1 > 0 olduğu için ilk standart sapma değeri olan ss değerinden küçüktür.
Payı sabit kalan bir kesrin paydası büyüdüğünde değeri küçülür.

Anahtar Kavram

Veri ekleme durumlarında standart sapmanın değişimi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Merkezi Yayılım Ölçüleri

Bu konudan daha fazla soru