\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesini ve \mathbb{Q}' irrasyonel sayılar kümesini göstermekt… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$\mathbb{Q}$ rasyonel sayılar kümesini ve $\mathbb{Q}'$ irrasyonel sayılar kümesini göstermektedir.

S

kümesi

S = \{ \sqrt{n} : 1 \le n \le 30, \, n \in \mathbb{Z}^+ \}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $S$ kümesinin herhangi iki farklı elemanının çarpımı bir irrasyonel sayı olacak biçimde seçilebilecek en geniş alt kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevap: 19

Cevap

Seçilebilecek en geniş alt kümenin eleman sayısı 19'dur.

Sayılar sadeleştirildiğinde ortak kök dışı çekirdeğe sahip sayılar aynı gruba yerleştirilir. Herhangi iki elemanın çarpımının irrasyonel olması için bu grupların her birinden en fazla bir temsilci seçilebilir. Toplam 19 farklı grup oluştuğundan seçilebilecek en geniş alt küme 19 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

Çarpımları rasyonel olan sayı çiftlerini belirlemek için

\sqrt{n}

biçimindeki sayıları sadeleştirelim.

İki farklı

a

b

pozitif tam sayısı için

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

çarpımının rasyonel sayı olması,

a \cdot b

çarpımının bir tam kare olmasıyla mümkündür. Bu durum,

a

b

sayılarının en sade biçimdeki kök içi kısımlarının (karesiz çekirdeklerinin) aynı olmasını gerektirir.

Bir köklü sayının rasyonel bir sayı ile çarpılarak rasyonel yapılması, köklü kısmın eşleniğiyle çarpılması ilkesine dayanır.

1

ile

30

arasındaki pozitif tam sayıları en sade kök içi çekirdeklerine göre gruplandıralım.

Gruplar şu şekildedir:
- Çekirdek 1 (Rasyonel sayılar):

\{1, 4, 9, 16, 25\}

(5 eleman)
- Çekirdek 2:

\{2, 8, 18\}

(yani

\{\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\}

- 3 eleman)
- Çekirdek 3:

\{3, 12, 27\}

(yani

\{\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}\}

- 3 eleman)
- Çekirdek 5:

\{5, 20\}

(yani

\{\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\}

- 2 eleman)
- Çekirdek 6:

\{6, 24\}

(yani

\{\sqrt{6}, 2\sqrt{6}\}

- 2 eleman)
- Çekirdek 7:

\{7, 28\}

(yani

\{\sqrt{7}, 2\sqrt{7}\}

- 2 eleman)
- Tek elemanlı gruplar (çekirdekleri kendisi olanlar):

\{10\}, \{11\}, \{13\}, \{14\}, \{15\}, \{17\}, \{19\}, \{21\}, \{22\}, \{23\}, \{26\}, \{29\}, \{30\}

(13 grup)

Aynı gruptan seçilecek herhangi iki elemanın çarpımı bir rasyonel sayı üretecektir.

Her gruptan en fazla kaç eleman seçilebileceğini analiz edelim.

Herhangi iki elemanın çarpımının irrasyonel olması istendiğinden, yukarıdaki grupların her birinden en fazla 1 eleman seçebiliriz. Birden fazla eleman seçilmesi durumunda, o iki elemanın çarpımı rasyonel sayı olacaktır.

Alt kümedeki hiçbir iki elemanın çarpımının rasyonel olmaması koşulunu sağlamak için grup başına temsilci sayısı sınırlandırılmalıdır.

Seçilebilecek maksimum eleman sayısını bulmak için tüm grupları toplayalım.

Çoklu elemana sahip 6 grup vardır ve her birinden 1'er eleman seçilir. Tek elemanlı 13 grup vardır ve her birinden 1'er eleman seçilir. Toplam maksimum eleman sayısı:

6 \cdot 1 + 13 \cdot 1 = 19

olur.

Her bağımsız gruptan birer temsilci alınarak oluşturulabilecek en geniş kümenin sınırını belirlemek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, köklü sayıların çarpımının rasyonellik şartı.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru