Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMerkezi Yayılım Ölçüleri

Bir veri grubunun standart sapmasını hesaplamak için;
1. Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2. Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkının karesi bulunur ve bu değerler toplanır.
3. Bulunan toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünerek elde edilen böl��mün karekökü alınır.

Elemanları tam sayılardan oluşan

1,1,5,9,x1, 1, 5, 9, x

veri grubunun standart sapması 44 olduğuna göre, bu veri grubunun açıklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    16
  4. 18Cevap
  5. E
    26

Cevap

18
Doğru cevap olan 18, standart sapması 4 olan veri grubunun bilinmeyen elemanının alabileceği iki tam sayı değeri (9 ve -1) için hesaplanan açıklıkların (8 ve 10) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun aritmetik ortalamasını x cinsinden yazın.
Verilerin toplamı 1+1+5+9+x=16+x1 + 1 + 5 + 9 + x = 16 + x ve eleman sayısı 55 olduğundan, aritmetik ortalama xˉ=16+x5\bar{x} = \frac{16 + x}{5} olur.
Standart sapma formülünde elemanların aritmetik ortalamadan sapmalarını bulabilmek için ortalama ifadesine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Standart sapma formülünü kullanarak x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem kurun.
Standart sapma 44 ise varyans 42=164^2 = 16'dır. Sapma karelerinin toplamı (5−1)×16=64(5 - 1) \times 16 = 64 olmalıdır. Buradan ∑i=15(xi−xˉ)2=108+x2−5⋅(16+x5)2=64\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = 108 + x^2 - 5 \cdot \left(\frac{16+x}{5}\right)^2 = 64 denklemi elde edilir. Denklem düzenlendiğinde x2−8x−9=0x^2 - 8x - 9 = 0 sonucuna ulaşılır.
Verilen standart sapma değerinden yararlanarak bilinmeyen x elemanını bulmak gerekir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.
(x−9)(x+1)=0(x - 9)(x + 1) = 0 denkleminin kökleri x=9x = 9 veya x=−1x = -1 olarak bulunur. Her iki değer de tam sayı şartını sağlar.
Bilinmeyen x elemanının alabileceği tüm olası durumları belirlemek için denklemin kökleri bulunmalıdır.
4
Her iki x değeri için veri grubunu küçükten büyüğe sıralayıp açıklık değerlerini hesaplayın.
x=9x = 9 için veri grubu {1,1,5,9,9}\{1, 1, 5, 9, 9\} olur. En büyük değer 99, en küçük değer 11 olduğundan açıklık 9−1=89 - 1 = 8 olur. x=−1x = -1 için veri grubu {−1,1,1,5,9}\{-1, 1, 1, 5, 9\} olur. En büyük değer 99, en küçük değer −1-1 olduğundan açıklık 9−(−1)=109 - (-1) = 10 olur.
Elde edilen farklı durumlarda en büyük ve en küçük değerler değişebileceğinden açıklık değerleri yeniden hesaplanmalıdır.
5
Bulunan farklı açıklık değerlerini toplayın.
8+10=188 + 10 = 18 bulunur.
Soruda veri grubunun alabileceği farklı açıklık değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Veri grubunun standart sapması ve açıklık (ranj) kavramlarının hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Merkezi Yayılım Ölçüleri

Bu konudan daha fazla soru