Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomunun x2−4x^2 - 4 ile bölümünden kalan 2x+32x + 3'tür. P(x)P(x) polinomunun sabit terimi 1111 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−2xx^2 - 2x ile bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2x+32x + 3
  2. B
    2x+72x + 7
  3. −2x+11-2x + 11Cevap
  4. D
    2x+112x + 11
  5. E
    x2−2x+7x^2 - 2x + 7

Cevap

−2x+11-2x + 11
Doğru cevap olan −2x+11-2x + 11 ifadesi, bölme özdeşliklerinden elde edilen P(0)=11P(0) = 11 ve P(2)=7P(2) = 7 koşullarının her ikisini birden sağlayan tek birinci dereceden polinomdur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun x2−4x^2 - 4 ile bölümüne ait bölme özdeşliğini yazın ve bilinen değerleri belirleyin.
P(x)=(x2−4)(ax+b)+2x+3P(x) = (x^2 - 4)(ax + b) + 2x + 3 elde edilir. Polinomun sabit terimi 1111 olduğundan P(0)=11P(0) = 11 olur. Ayrıca ilk denklemde x=2x = 2 yazıldığında P(2)=(22−4)(2a+b)+2(2)+3=7P(2) = (2^2 - 4)(2a + b) + 2(2) + 3 = 7 değeri bulunur.
Bölümden kalanı bulmak ve gerekli polinom değerlerini elde etmek için bölme özdeşliğini kurmamız gerekir.
2
P(x)P(x) polinomunun x2−2xx^2 - 2x ile bölümünden kalan polinomun genel formunu yazın.
P(x)=(x2−2x)Q(x)+cx+dP(x) = (x^2 - 2x)Q(x) + cx + d yazılır.
Bölen polinom ikinci dereceden olduğu için kalan polinomun derecesi en fazla 11 olabilir, bu nedenle kalan cx+dcx + d formundadır.
3
Bölenin köklerini bölme özdeşliğinde yerine yazarak denklem sistemini oluşturun ve çözün.
x2−2x=x(x−2)x^2 - 2x = x(x-2) ifadesinin kökleri x=0x = 0 ve x=2x = 2'dir. x=0x = 0 için P(0)=d⇒d=11P(0) = d \Rightarrow d = 11 olur. x=2x = 2 için P(2)=2c+d⇒7=2c+11⇒2c=−4⇒c=−2P(2) = 2c + d \Rightarrow 7 = 2c + 11 \Rightarrow 2c = -4 \Rightarrow c = -2 bulunur.
Kalan polinomun katsayılarını belirlemek için bölen polinomu sıfırlayan değerleri kullanırız.
4
Bulunan katsayıları kalan polinomunda yerine yazarak sonucu elde edin.
Kalan polinomu K(x)=−2x+11K(x) = -2x + 11 olarak bulunur.
Hesaplanan cc ve dd katsayıları kalan polinomunu tamamlar.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulurken bölme özdeşliğini kurma, uygun kök değerlerini yerine yazma ve kalan polinomunun derecesinin bölenin derecesinden kesinlikle küçük olması gerektiğini bilme.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bu konudan daha fazla soru