Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
x2−7x+5=0x^2 - 7x + 5 = 0 denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir. Buna göre, x13−x12x2−x1x22+44x2x_1^3 - x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 + 44x_2 ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    -308
  2. B
    218
  3. 238Cevap
  4. D
    273
  5. E
    308

Cevap

İfadenin değeri 238 olarak bulunur.
Verilen ifade düzenlendiğinde −x12x2−x1x22=−x1x2(x1+x2)=−35-x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 = -x_1 x_2(x_1+x_2) = -35 olur. Kökün denklemi sağlama özelliğinden x12=7x1−5x_1^2 = 7x_1 - 5 ve buradan x13=44x1−35x_1^3 = 44x_1 - 35 elde edilir. İfadeler birleştirildiğinde 44(x1+x2)−70=44(7)−70=23844(x_1+x_2) - 70 = 44(7) - 70 = 238 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini yazalım.
x1+x2=7x_1 + x_2 = 7 ve x1⋅x2=5x_1 \cdot x_2 = 5 elde edilir.
İfadeyi sadeleştirmek için kökler ile katsayılar arasındaki temel ilişkileri kullanacağız.
2
Sorulan ifadedeki −x12x2−x1x22-x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 terimlerini ortak çarpan parantezine alalım.
−x12x2−x1x22=−x1x2(x1+x2)-x_1^2 x_2 - x_1 x_2^2 = -x_1 x_2(x_1 + x_2) olur.
Bu kısmı kökler toplamı ve kökler çarpımı cinsinden ifade etmek işlemi kolaylaştıracaktır.
3
Elde ettiğimiz ortak parantezli kısımda kökler toplamı ve çarpımı değerlerini yerine yazalım.
−x1x2(x1+x2)=−5⋅7=−35-x_1 x_2(x_1 + x_2) = -5 \cdot 7 = -35 bulunur. Böylece sorulan ifade x13+44x2−35x_1^3 + 44x_2 - 35 şekline dönüşür.
İfadenin bir kısmını sabit bir sayıya indirgemiş olduk.
4
x1x_1 denklemin bir kökü olduğundan x12−7x1+5=0  ⟹  x12=7x1−5x_1^2 - 7x_1 + 5 = 0 \implies x_1^2 = 7x_1 - 5 eşitliğini kullanarak x13x_1^3 ifadesinin derecesini düşürelim.
x13=x1⋅x12=x1(7x1−5)=7x12−5x1=7(7x1−5)−5x1=44x1−35x_1^3 = x_1 \cdot x_1^2 = x_1(7x_1 - 5) = 7x_1^2 - 5x_1 = 7(7x_1 - 5) - 5x_1 = 44x_1 - 35 elde edilir.
Y��ksek dereceli terimi doğrusal bir ifadeye dönüştürmek kökler toplamını kullanabilmemizi sağlayacaktır.
5
Bulduğumuz x13=44x1−35x_1^3 = 44x_1 - 35 ifadesini Adım 3'teki ifademizde yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
(44x1−35)+44x2−35=44(x1+x2)−70=44(7)−70=308−70=238(44x_1 - 35) + 44x_2 - 35 = 44(x_1 + x_2) - 70 = 44(7) - 70 = 308 - 70 = 238 bulunur.
Tüm parçaları birleştirip kökler toplamını yerine yazarak nihai sonuca ulaştık.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkilerinin (x1+x2=−b/ax_1 + x_2 = -b/a, x1⋅x2=c/ax_1 \cdot x_2 = c/a) ve kökün denklemi sağlama özelliğinin (x12−7x1+5=0x_1^2 - 7x_1 + 5 = 0) birlikte kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri