Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı ikinci dereceden bir denklemin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 hakkında öğrencilerine aşağıdaki bilgileri vermiştir:

* Köklerin toplamı, köklerin çarpımından 5 fazladır.
* Köklerin toplamının 2 katı ile köklerin çarpımının 3 katının toplamı sıfırdır.

Buna göre, öğretmenin tahtaya yazdığı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    x2+3x−2=0x^2 + 3x - 2 = 0
  2. B
    x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0
  3. x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0Cevap
  4. D
    x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0
  5. E
    x2+2x+3=0x^2 + 2x + 3 = 0

Cevap

Doğru denklem x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 şeklindedir.
Verilen sözel ifadeler denklem sistemine dönüştürülüp çözüldüğünde kökler toplamı S=3S = 3 ve kökler çarpımı P=−2P = -2 bulunur. İkinci dereceden denklem x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülüyle oluşturulduğundan, doğru denklem x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel ifadeleri kökler toplamı (S=x1+x2S = x_1 + x_2) ve kökler çarpımı (P=x1x2P = x_1 x_2) cinsinden denklem sistemine dönüştürmek.
S=P+5S = P + 5 ve 2S+3P=02S + 3P = 0 denklemleri elde edilir.
Kökler arasındaki ilişkileri cebirsel olarak ifade edip çözebilmek için.
2
Elde edilen birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek.
S=P+5S = P + 5 ifadesini ikinci denklemde yerine koyarsak: 2(P+5)+3P=0⇒5P+10=0⇒P=−22(P + 5) + 3P = 0 \Rightarrow 5P + 10 = 0 \Rightarrow P = -2 bulunur. Buradan S=−2+5=3S = -2 + 5 = 3 elde edilir.
Kökler toplamı ve kökler çarpımının sayısal değerlerini bulmak için.
3
Bulunan SS ve PP değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklemi kurmak.
Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan denklem x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülüyle kurulur. Değerler yerine yazıldığında x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 denklemi elde edilir.
Kök-katsayı ilişkilerinden faydalanarak orijinal denkleme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (x1+x2x_1+x_2) ve kökler çarpımı (x1⋅x2x_1 \cdot x_2) kullanılarak denklemin oluşturulması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri