Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir torbada 11'den nn'ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların her birinin yazılı olduğu birer kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir kart çekildiğinde, torbada kalan kartların üzerinde yazan sayıların toplamı, çekilen kartın üzerinde yazan sayının 3636 katına eşit olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta torbadaki kart sayısı olan nn değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    73
  2. B
    109
  3. C
    110
  4. 146Cevap
  5. E
    147

Cevap

Başlangıçta torbadaki kart sayısı olan n değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 146'dır.
Sorudaki koşula göre başlangıçtaki toplamdan çekilen kart (xx) çıkarıldığında kalan toplam 36x36x olmaktadır. Buradan başlangıçtaki toplam 37x37x olur. Ardışık toplam formülünden n(n+1)=74xn(n+1) = 74x elde edilir. Çekilen kart torbadaki kart sayısını aşamayacağı için x≤nx \le n olmalıdır. Buradan n+1≤74n+1 \le 74 eşitsizliğine ulaşılır. 74=2×3774 = 2 \times 37 olduğundan nn veya n+1n+1 çarpanlarından biri 3737'ye bölünmelidir. Bu koşulları sağlayan nn değerleri 36,3736, 37 ve 7373 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 146146'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Torbadaki kartların üzerindeki sayıların toplamını ve kalan sayıların toplamını veren denklemi kurmak.
İlk durumda sayıların toplamı S=n(n+1)2S = \frac{n(n+1)}{2} olur. Çekilen kart xx ise, kalan sayıların toplamı S−x=n(n+1)2−xS - x = \frac{n(n+1)}{2} - x olur.
Soruda verilen bağıntıyı matematiksel olarak ifade etmek için ba��langıçtaki toplamı ve çekilen karttan sonraki durumu tanımlamalıyız.
2
Kalan toplamın, çekilen kartın 36 katına eşit olduğunu belirten denklemi düzenlemek.
n(n+1)2−x=36x  ⟹  n(n+1)2=37x  ⟹  n(n+1)=74x\frac{n(n+1)}{2} - x = 36x \implies \frac{n(n+1)}{2} = 37x \implies n(n+1) = 74x elde edilir.
Çekilen kart x ile n arasındaki ilişkiyi kurmak için denklemi sadeleştiririz.
3
Elde edilen n(n+1)=74xn(n+1) = 74x eşitliğinde, 1≤x≤n1 \le x \le n sınırını ve asall��k durumunu kullanarak n değerlerini belirlemek.
74=2×3774 = 2 \times 37 olduğundan ve 37 asal sayı olduğundan, n veya n+1 çarpanlarından biri 37'ye tam bölünmelidir. Çekilen kart torbadaki kart sınırını aşamayacağı için x≤nx \le n olmalıdır. Buradan n(n+1)74≤n  ⟹  n+1≤74  ⟹  n≤73\frac{n(n+1)}{74} \le n \implies n+1 \le 74 \implies n \le 73 bulunur. Bu sınırlar dahilinde n'nin veya n+1'in 37'nin katı olduğu durumlar incelendiğinde; n+1 = 37 için n = 36, n = 37 için n = 37 ve n+1 = 74 için n = 73 değerleri elde edilir. Değerler toplamı 36+37+73=14636 + 37 + 73 = 146 olur.
x'in bir tam sayı olması ve torbadaki kart sınırını aşmaması gerektiği koşullarını inceleyerek olası tüm n değerlerini buluz.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı formülü ve temel bölünebilme kuralları.

Alternatif Yöntem

Çarpanlara ayırma ve değer verme adımında, n(n+1)=74xn(n+1) = 74x denkleminde n yerine doğrudan 37'nin katı olan veya bir fazlası 37'nin katı olan sayıları sırayla deneyerek de n≤73n \le 73 sınırındaki değerler tespit edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru