Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir lojistik firmasında paketler, ağırlıklarına göre 'Standart' ve 'Ağır' olmak üzere iki gruba ayrılmıştır. Bu paketlerin ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket TürüBir Adedinin Ağırlığı
Standart5 kg5\text{ kg}
Ağır12 kg12\text{ kg}

Bu firmadaki standart ve ağır paketlerin toplam sayısı 1818 ve tüm paketlerin toplam ağırlığı 118 kg118\text{ kg}'dır.
Bu paketlerin tamamı, tek seferde en fazla 24 kg24\text{ kg} yük taşıyabilen bir el arabasıyla taşınacaktır.
Buna göre, tüm paketlerin taşınması için el arabasıyla en az kaç sefer yapılmalıdır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

6
Doğru yanıt olan 6 sefer, paket adetlerinin (14 standart, 4 ağır) denklem sistemiyle çözülmesinden sonra, el arabasının 24 kg'lık kapasitesine uygun olarak en verimli şekilde gruplandırılmasıyla elde edilir. Yapılan analizde 5 seferin matematiksel olarak imkansız olduğu, en az 6 seferle tüm paketlerin güvenle taşınabileceği kanıtlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart ve ağır paketlerin sayılarını bulmak için denklem sistemini kurup çözelim.
Standart paket sayısı xx, ağır paket sayısı yy olsun.
x+y=18x + y = 18 ve 5x+12y=1185x + 12y = 118 denklemleri elde edilir. Birinci denklemi 55 ile çarpıp ikinci denklemden çıkardığımızda 7y=287y = 28 yani y=4y = 4 ağır paket ve x=14x = 14 standart paket bulunur.
Her bir paket türünden kaçar adet olduğunu belirlemek, taşıma analizini yapabilmek için gereklidir.
2
El arabasının taşıma kapasitesine göre bir seferdeki paket kombinasyonlarını analiz edelim.
Taşıma kapasitesi en fazla 24 kg24\text{ kg}'dır. Ağır paketler (12 kg12\text{ kg}) en fazla ikişerli taşınabilir (12+12=24 kg12 + 12 = 24\text{ kg}). Bir ağır paketin yanına en fazla iki adet standart paket (12+5+5=22 kg12 + 5 + 5 = 22\text{ kg}) konabilir; çünkü üç standart paket eklenirse ağırlık 12+15=27 kg12 + 15 = 27\text{ kg} olur ve kapasite aşılır. Sadece standart paket taşınan bir seferde ise en fazla dört standart paket (4×5=20 kg4 \times 5 = 20\text{ kg}) taşınabilir.
Maksimum kapasite sınırını aşmadan her seferde en fazla kaç paket taşınabileceğini belirlemek için bu analiz gereklidir.
3
5 seferin neden yetersiz olduğunu ve en az 6 sefer gerektiğini matematiksel olarak kanıtlayalım.
4 ağır paketi taşımak için iki durum vardır:
Durum 1: Ağır paketlerin her biri farklı bir seferde taşınırsa (4 sefer). Bu seferlerin her birinde en fazla 2 standart paket taşınabileceğinden, toplamda en fazla 4×2=84 \times 2 = 8 standart paket taşınır. Kalan 14−8=614 - 8 = 6 standart paketi taşımak için ağır paket içermeyen en az 2 sefer daha gerekir. Toplam sefer sayısı 4+2=64 + 2 = 6 olur.
Durum 2: Ağır paketlerin ikisi aynı seferde taşınırsa (1 sefer, 24 kg24\text{ kg}). Kalan 2 ağır paket diğer seferlerde taşınır (en fazla 2 sefer). Bu seferlerde en fazla 2×2=42 \times 2 = 4 standart paket taşınır. Kalan 14−4=1014 - 4 = 10 standart paketi taşımak için en az ⌈10/4⌉=3\lceil 10/4 \rceil = 3 sefer daha gerekir. Toplam sefer sayısı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 olur.
Paketlerin bölünemez yapısı nedeniyle matematiksel olarak 5 seferin imkansız olduğunu gösterip en az 6 sefer yapılması gerektiğini kanıtlamak için bu adım gereklidir.
4
6 seferlik örnek bir dağılım planı hazırlayalım.
- 1. Sefer: 2 ağır paket (24 kg24\text{ kg})
- 2. Sefer: 1 ağır paket + 2 standart paket (22 kg22\text{ kg})
- 3. Sefer: 1 ağır paket + 2 standart paket (22 kg22\text{ kg})
- 4. Sefer: 4 standart paket (20 kg20\text{ kg})
- 5. Sefer: 3 standart paket (15 kg15\text{ kg})
- 6. Sefer: 3 standart paket (15 kg15\text{ kg})
Toplamda 4 ağır ve 14 standart paket taşınır.
Bulunan sonucun geçerliliğini ve uygulanabilirliğini göstermek için somut bir dağılım planı sunulur.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Bölünebilirlik/Gruplama
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru