Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

x,yx, y ve zz sayıları sırasıyla Z\mathbb{Z} (tam say��lar), Q∖Z\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (tam sayı olmayan rasyonel sayılar) ve R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} (irrasyonel sayılar) kümelerinin birer elemanıdır.

Buna göre;
I. x⋅yx \cdot y sayıs�� bir tam sayıdır.
II. x⋅zx \cdot z sayısı bir irrasyonel sayıdır.
III. y+zy + z sayısı bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIICevap
  3. C
    I ve II
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Yalnız III
Yalnızca üçüncü öncül her zaman doğrudur. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyonel bir sayı verir. Diğer öncüllerde ise x=1x=1 ve y=1/2y=1/2 seçildiğinde çarpımın tam sayı çıkmadığı, x=0x=0 seçildiğinde ise irrasyonel bir sayı ile çarpımın sıfır (rasyonel) çıktığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncül olan x⋅yx \cdot y ifadesinin tam sayı olma durumunu incelemek.
x=1∈Zx = 1 \in \mathbb{Z} ve y=12∈Q∖Zy = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} değerleri seçildiğinde, x⋅y=1⋅12=12x \cdot y = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} elde edilir. 12\frac{1}{2} bir tam sayı olmadığından, birinci öncül her zaman doğru değildir.
Bir önermenin her zaman doğru olmadığını göstermek için en az bir tane karşıt örnek (aksine örnek) bulmak yeterlidir.
2
İkinci öncül olan x⋅zx \cdot z ifadesinin irrasyonel olma durumunu incelemek.
x=0∈Zx = 0 \in \mathbb{Z} ve z=2∈R∖Qz = \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} değerleri seçildiğinde, x⋅z=0⋅2=0x \cdot z = 0 \cdot \sqrt{2} = 0 elde edilir. 00 sayısı bir rasyonel sayı olduğundan, ikinci öncül her zaman doğru değildir.
Sıfır sayısının bir tam sayı olduğu ve irrasyonel sayılarla çarpımının sonucu rasyonele dönüştürdüğü durumunu test etmek.
3
Üçüncü öncül olan y+zy + z ifadesinin irrasyonel olma durumunu incelemek.
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyonel bir sayıdır. Aksini varsayarsak, y+z=qy + z = q (q∈Qq \in \mathbb{Q}) olsun. Buradan z=q−yz = q - y yazılabilir. Rasyonel iki sayının farkı da rasyonel olacağından zz rasyonel olmalıdır. Ancak bu durum zz'nin irrasyonel olması tanımıyla çelişir. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğrudur.
Toplama işleminin sayı kümeleri üzerindeki kapalılık ve karakterizasyon özelliklerini matematiksel çelişki yöntemiyle ispatlamak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımı, eleman özellikleri ve bu kümeler arasındaki işlemlerin rasyonellik/irrasyonellik durumları.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru