Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir torbada, üzerinde 1'den nn'ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların yazılı oldu��u nn tane kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen iki kartın üzerinde yazan sayıların toplamı AA, torbada kalan diğer kartların üzerinde yazan sayıların toplamı ise 220'dir.

Buna göre, AA sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    33
  3. 44Cevap
  4. D
    56
  5. E
    100

Cevap

A sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 44'tür.
Doğru cevap, matematiksel sınırları sağlayan kart sayılarını tespit ederek alabilecekleri değerlerin toplamı olan 44'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm kartların üzerindeki sayıların toplamı için ardışık sayılar toplam formülünü yazıp torbada kalan kartların toplamı ile ilişkilendirelim.
S=n(n+1)2S = \frac{n(n+1)}{2} ve seçilen iki kartın toplamı AA olmak üzere, S−A=220  ⟹  A=n(n+1)2−220S - A = 220 \implies A = \frac{n(n+1)}{2} - 220 elde edilir.
Çekilen kartlar çıkarıldıktan sonra kalan toplam 220 olarak verilmiştir.
2
Seçilen iki kartın alabileceği minimum ve maksimum değerler üzerinden AA için sınır koşullarını belirleyelim.
Kartlar 1 ile nn arasında olduğundan, seçilen iki farklı kartın toplamı en az 1+2=31 + 2 = 3, en çok (n−1)+n=2n−1(n-1) + n = 2n-1 olabilir. Dolayısıyla, 3≤A≤2n−13 \leq A \leq 2n-1 eşitsizliği sağlanmalıd��r.
AA değeri seçilen iki farklı kartın toplamını temsil etmektedir.
3
AA ifadesini sınır eşitsizliğinde yerine yazarak nn tamsayısının alabileceği değer aralığını bulalım.
Eşitsizlikleri çözersek: 1) n(n+1)2−220≥3  ⟹  n(n+1)≥446  ⟹  n≥21\frac{n(n+1)}{2} - 220 \geq 3 \implies n(n+1) \geq 446 \implies n \geq 21 (çünkü 20×21=420<44620 \times 21 = 420 < 446 ve 21×22=462≥44621 \times 22 = 462 \geq 446). 2) n(n+1)2−220≤2n−1  ⟹  n2−3n−438≤0  ⟹  n≤22\frac{n(n+1)}{2} - 220 \leq 2n-1 \implies n^2 - 3n - 438 \leq 0 \implies n \leq 22 (çünkü 222−3(22)−438=−20≤022^2 - 3(22) - 438 = -20 \leq 0 iken 232−3(23)−438=22>023^2 - 3(23) - 438 = 22 > 0 olur). Bu durumda nn tam sayısı sadece 21 veya 22 değerlerini alabilir.
nn sayısının sınırlarını belirleyerek hangi tamsayı değerlerini alabileceğini bulmak gerekir.
4
Bulunan geçerli nn değerleri için AA değerlerini hesaplayıp toplayalım.
n=21n = 21 için A=21×222−220=231−220=11A = \frac{21 \times 22}{2} - 220 = 231 - 220 = 11 olur. n=22n = 22 için A=22×232−220=253−220=33A = \frac{22 \times 23}{2} - 220 = 253 - 220 = 33 olur. Bu değerlerin toplamı 11+33=4411 + 33 = 44 olarak bulunur.
AA'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Ardışık pozitif tam sayıların toplam formülü ve iki elemanın toplamının alabileceği sınır değerleri üzerinden eşitsizlik analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru